Re: [微積] 反函數微分
※ 引述《ChenYM (老宅男一個)》之銘言：
: f(x)=x+ln(x+1)
: g(x)為f(x)的反函數
: 求g'(0)
: 這要先求出g(x)嗎？
: 或是有公式可以直接算？
f(x)=x+ln│x+1│
1 x+2
f'(x)=1+ ─── = ───
x+1 x+1
-1
let g(x) =f (x)
-1
∵f(0)=0 =>f (0)=g(0)=0
dg(x) │ 1 │ 1 x+1 │
──── │ = ──── │ = ─── = ───│ =0.5
dx │x=0 f'(g(x)) │x=0 y'(0) x+2 │x=0
說明：
反函數定義
-1
若g(x)=f (x), 則 f(g(x))=x --------eq1
又反函數微分可得
dg
───
dx
x=f(g(x))代入可得
dg 1
───── = ─────── ---------eq2
df(g(x)) [df(g(x))]/dg
有了這兩道公式,即可根據下列三步驟,求得反函數
df
step 1: 先求得 ─── =f'(x)
dx
-1 df
step 2: x=f (x)=g(x)代入得 ─── =f'(g(x)) ,此動作稱為「啞變元原理」
dg
dg 1
step 3: ─── = ───
dx df/dg
※Note:
若f(a)=b,則g(b)=a
根據上列所式,若題目要求g'(b),算至步驟二時,則 f'(g(b))=f'(a)
-1
ex: f(x)=x^3 +1 , g(x)=f (x) , find g'(9)
∵f(2)=9 =>g(9)=2
step 1: f'(x)=2x
step 2: f'(g(x))=2g
│ 1 │ 1 1
stp3 3: g'(x)│ = ─── │ = ──── = ─── =0.25
│x=9 df/dg │x=9 2g(9) 2*2
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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside
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推
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