Re: [中學] sin20度*sin40度*sin80度
※ 引述《rtyxn (ask)》之銘言：
: 某一道題目會用到sin20度*sin40度*sin80度
: 解答直接說它等於(√3)/8
: 自己認為這可以用積化和差求得
: 但如果是向99課綱的學生講解，就不能用這個了
: 請問有別的方法(不用積化和差)嗎? 謝謝
所以 99 課綱沒積化和差了嗎? 那我不知道下面這種解法可不可以:
考慮 z^8 + z^7 + ... + z^2 + z + 1 = 0 的八個根 w1, w2, ..., w8
它們是複數平面單位圓上的正九邊形 (扣掉 1 這個點)
z^8 + z^7 + ... + z^2 + z + 1 = (z-w1)(z-w2)...(z-w8)
上式 z 代入 1 再取絕對值
9 = | 1-w1 || 1-w2 | ... | 1-w8 |
計算| 1 - wn | = √(1 - cos 40n)^2 + (sin 40n)^2 = √2(1 - cos 40n) [展開]
= 2√((1 - cos 40n)/2) = 2 sin 20n [半角公式] [範圍內的 sin 都是正的]
代回去得 9 = 256 sin20 * sin40 * ... * sin160
然後用一些 sin20 = sin160 來化簡
得 ( sin20 * sin40 * sin60 * sin80 )^2 = 9/256
sin20 * sin40 * sin60 * sin80 = 3/16 [這些 sin 都是正的]
又知道 sin60 = √3 /2 所以 sin20 * sin40 * sin80 = √3 /8
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討論串 (同標題文章)
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