Re: [機統]Order statistics:Y1,Y2-Y1獨立=>X~Gamma?
※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: (From Craig Hogg Mathematical statistics 6th, exercise 5.2.16)
: Question: Order statistics Y1 < Y2 of a random sample of size 2 from a
: continous type distribution with pdf f(x) such that f(x) > 0
: for x≧0, f(x)=0, elsewhere. Show that if Z1=Y1, Z2=Y2-Y1 are
: independent, f(x) has a Gamma pdf with α=1, β>0(That is, a
: exponential distribution with mean β)
令 X1, X2 為來自具連續型 p.d.f. f(x) 之簡單隨機樣本,
f(x) 在 x≧0 取正值, 而在 x<0 時為 0.
令 Y1<Y2 為其順序統計量. 令 Z1=Y1, Z2=Y2-Y1.
欲證: 若 Z1 與 Z2 獨立, 則 f(x) = (1/β)e^{-x/β}, x>0.
Y1, Y2 之 joint p.d.f. 為
g(y1,y2) = 2f(y1)f(y2), 0≦y1≦y2.
Z1, Z2 之 joint p.d.f. 因此為
h(z1,z2) = 2f(z1)f(z1+z2), z1,z2≧0.
因 Z1 與 Z2 獨立, 故 h(z1,z2) = h1(z1)h2(z2).
h1(z1) = ∫_(0,∞) h(z1,z2) dz2
= 2f(z1)∫_(0,∞)f(z1+z2)dz2
= 2f(z1)(1-F(z1))
或直接由 order statistics p.d.f. 公式得如上結果.
所以 h2(z2) = f(z1+z2)/(1-F(z1)) 與 z1 無關.
即: f(z1+z2) 可分解為
f(z1+z2) = p(z1)q(z2), for all z1,z2≧0.
但 f(z1+z2) 是 z1 與 z2 的對稱式, 因此,
f(z1+z2) = p(z1)p(z2) for all z1,z2≧0.
故
f(z1) = p(z1)p(0), all z≧0;
f(0) = (p(0))^2
所以
f(0)f(z1+z2) = (p(0))^2 p(z1)p(z2)
= f(z1)f(z2)
或
f(z1+z2)/f(0) = (f(z1)/f(0))(f(z2)/f(0))
令 f*(x) = f(x)/f(0), 則
f*(0) = 1,
f*(x+y) = f*(x) f*(y), all x,y≧0
若 f*(x) 在 x=0 連續, 則可證得 f*(x) 在所有 x≧0
連續, 而且 f*(x) = e^{kx}, all x≧0.
證明方式有點囉嗦, 但逐步漸進:
(1) 考慮 x 是非負整數時, 得 f*(n) = (f*(1))^n
(2) 考慮 x=1/n, n 是正整數, 得 f*(1/n) = (f*(1))^{1/n}
(3) 考慮所有非負有理數, 得 f*(r) = (f*(1))^r
(4) 由連續性, 得對所有非負實數, 得 f*(x) = (f*(1))^x.
最後, 基於 f(x) 是 p.d.f., 故得
f(x) = (1/β)e^{-x/β}, x≧0; for some β>0.
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