Re: [中學] 函數方程
※ 引述《jurian0101 (Hysterisis)》之銘言：
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: 有關聯的附題:
: 試解出所有 f(f(f(x)))=x 的函數f
我只解出一族函數，還不能證明是唯一，也就不算滿足原題要求。
2rx ± 4r^2 Tan[π/n]
公式是 f(x, n)= ---------------------------
±(-2rx Tan[π/n])+ 4r^2 找不到"負正"的符號
r是任意 [edit:非0] 實數，則該函數滿足f^n(x)=x
假設f(x)是R→R的函數，這一題基本想法是從 f(x)=ωx , ω^3=1 這個搞笑解
來的，因為單位根ω=(-1+√3i)/2 是複數啊。但他的幾何意義很好，就是對原
點旋轉2π/3徑度。
所以，只要找個一對一函數能把所有實數映到一個圓周上就可以了。
我採用Mobius變換的二維版， 令圓 x^2 + (y-r)^2 = r^2
*1
從圓的"頂點" (0, 2r) 出發，經過圓上動點 (rcosθ, r(sinθ+1)) 的射線
與x軸交於 (花幾分鐘解方程式並化簡): (2r (Tan[θ/2]+1)/(Tan[θ/2]-1) ,0)
限制 -π<θ≦π，就把圓周跟x軸一對一對應了
反向對應關係是 Tan[θ/2] = (x+2r)/(x-2r)
*2
所以讓 θ→θ+ (2π/n) Tan的縮寫
^
Tan[θ/2] → Tan[θ/2 + π/n] = (T[θ/2]+ T[π/n])/ (1-T[θ/2]*T[π/n])
代入 Tan[θ/2] = (x+2r)/(x-2r) 即得到
2rx + 4r^2 Tan[π/n]
f(x) = -----------------------
-2rx Tan[π/n] + 4r^2
*3
會多出正負號是因為也可以是 θ→θ- (2π/n)。
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因為我沒學過複變，所以以下是亂說。
把題目擴展到複數 f:C→C 還是一樣，把複數映射到單位圓内的點，乘以n次單位根
再相反的映射回去，應該是同樣的道理。
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似乎我解出來的這一族函數也不保證包含所有滿足f(f(f(x)))=x者
可以讓 g:(實軸)→(圓周) 的函數似乎無限多啊。但原題很明確是說「所有」的......
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◆ From: 140.112.213.88
推
08/21 13:30, , 1F
08/21 13:30, 1F
※ 編輯: jurian0101 來自: 140.112.213.88 (08/21 13:59)
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