Re: [代數] 分配律怎麼證
假設自然數的加法乘法那些性質都已經證好了 (例如從 peano arithmetic 來證)
定義 N*N 上的關係 `~` 使得 (a,b) ~ (c,d) 表示 a+d = c+b
claim: `~` 是等價關係
{- 我們希望 (a,b) 表示直觀上的 a-b -}
構造 Z := N*N/~. 令 [(a,b)] 表示 (a,b) 所在的等價類
定義 Z 上的加法 `+` 為 [(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)]
驗證這是 well-defined
然後就可以定義 negation 及 subtraction
-[(a,b)] := [(b,a)] {- 一樣要驗證 `-_` 是 well-defined -}
[(a,b)] - [(c,d)] := [(a,b)] + ( -[(c,d)] )
接下來交換律、結合律可從 N 的交換律、結合律得到
例如, 結合律: [(a,b)] + ( [(c,d)] + [(e,f)] )
= ...
= [( a+(c+e) , b+(d+f) )]
= [( (a+c)+e , (b+d)+f )] N的加法結合律
= ...
= ( [(a,b)] + [(c,d)] ) + [(e,f)]
定義 Z 上的乘法 `*` 為 [(a,b)] ×[(c,d)] := [(ac+bd,bc+ad)]
驗證這是 well-defined
同樣乘法交換律、結合律從 N 的交換律、結合律得到 (寫開來就是了)
驗證乘法分配律(寫開來就得到)
[(a,b)] ×( [(c,d)] + [(e,f)] )
= [(a,b)] ×[(c,d)] + [(a,b)] ×[(e,f)]
{- 其他還有很多...例如定好 `<`, 驗證 Z 是個 domain,
把 N 放進去, 等等等... -}
寫得很粗略orz 歡迎大家指正
http://en.wikipedia.org/wiki/Integer#Construction
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所以到目前為止是....整數, 接下來還有有理數跟實數
有理數跟整數有點像 只不過現在的等價關係目標是 a/b = c/d
也就是 (a,b) ~ (c,d) 表示 ad = bc
最後實數有 Dedekind cut 或 Cauchy sequence 構造都可以
這可以參看金次爺爺高微前幾次上課內容
http://www.youtube.com/watch?v=It86Q148DzA
&list=PLil-R4o6jmGjoxAWZurHXAY0q9yxwXv5F
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 請問實數的分配律 a(b+c) = ab + ac 要怎麼證？
: 這應該不是什麼定義或公設吧，應該是可以證明的。
: 我不會證，除非是舉各式各樣的例子說明，好比說：3 x (5 + 7) = 3 * 5 + 3 * 7
: 但這顯然在數學界裡不算是個證明。
一個立即的疑問是, 這是人工構造出來的, 為什麼? 所以呢?
我們的問題是實數的 a(b+c) = ab + ac 對不對,
仔細一想要先知道 "什麼是實數?" "實數的運算怎麼做?"
一路追尋下去, 我們可以對有理數、整數、自然數都問這樣的問題,
最後到一些問不下去的地方.
反過來說, 一個路徑就是我們乾脆把他們 "構造" 出來, 定好運算,
使得寫下來的東西(情感上?)符合我們的直覺, 接下來討論都使用我們構造出來的東西.
(不過這裡我瞭解很少, 就不胡說了...)
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※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.44.87 (08/19 00:31)
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08/19 12:29, , 1F
08/19 12:29, 1F
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08/19 12:30, , 2F
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這裡面沒有用到什麼代數高微的知識, 構造實數是高微最一開始講的,
代數跟高微講的比較重要的地方也不在這些.....
※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.44.87 (08/19 12:46)
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08/19 17:09, , 3F
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