Re: [微積] 全微分
※ 引述《subtropical (風大雨大)》之銘言：
: 1.
: f(x,y) = 0 , if (x,y)=(0,0)
: x^3
: --------------- , other
: (x^2+y^2)^(1/2)
: 求: f在x in R 可全微分
我不知你的 "可全微分" 是什麼? 是否為 "可微分"?
當 (x,y)≠(0,0) 時,
f 對 x 之偏導數為
f_x(x,y) = 3x^2/(x^2+y^2)^{1/2} - x^4/(x^2+y^2)^{3/2}
對 y 之偏導數為
f_y(x,y) = -x^3y/(x^2+y^2)^{3/2}
在 (x,y)≠(0,0) 時 f_x, f_y 均連續, 因此 f 可微.
在 (0,0), 設 (Δx,Δy)≠(0,0), 則
f(Δx,Δy)-f(0,0) = [(Δx)^2/√((Δx)^2+(Δy)^2)](Δx)
其中
0 ≦ (Δx)^2/√((Δx)^2+(Δy)^2) ≦ (Δx)^{3/2} → 0
當 (Δx,Δy)→(0,0),
故依定義, f(x,y) 在 (0,0) 也可微分.
所以 f(x,y) 處處可微分.
: 2.
: f(x,y) = 1, if exist t in R, t /= 0 with (x,y) = (t,t^2)
: 0, other
: 求: f在(0,0)不可全微分 但Directional derivative皆存在
f(0,0) = 0, 且
f(x,0) = 0 = f(0,y) 當 x≠0, y≠0.
故
(f(h,0)-f(0,0))/h = 0 for all h≠0;
(f(0,k)-f(0,0))/k = 0 for all k≠0.
因此, f(x,y) 在 (0,0) 之偏導數皆存在.
考慮一固定方向 (α,β), 其中 α^2+β^2 = 1.
f(tα,tβ) = 0 除非 tβ=(tα)^2, 即 t=0 或 t=α/β.
因此,
lim (f(tα,tβ)-f(0,0))/t = 0
t→0
即, f 在 (α,β) 方向之方向導數存在, 且為 0.
由於方向 (α,β) 雖固定, 但任意 (β=0 即 x-偏導數,
α=0 即 y-偏導數). 因此得證: f 在 (0,0) 之任意方向
的方向導數皆存在 (且皆為 0).
但
f(Δx,Δy)-f(0,0) = 1 if Δy = (Δx)^2;
= 0 otherwise
因此, 當 (Δx,Δy)→0 時, 並不存在常數 A, B, 使
f(Δx,Δy)-f(0,0) - A Δx - B Δy
----------------------------------- → 0
√[(Δx)^2 + (Δy)^2]
即: f 在 (0,0) 不可微.
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