Re: [線代]矩陣數列的收斂問題

看板Math作者linshihhua (linshihhua)時間11年前 (2013/06/03 15:17)推噓0(0推 0噓 17→)

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※ 引述《linshihhua (linshihhua)》之銘言： : 標題: [線代]矩陣數列的收斂問題 : 時間: Sat Jun 1 13:59:42 2013 : : 令P為所有的Hermitian positive definite matrices的集合 : : 假設有一個矩陣列{An}，An in P : : 則我們知道每個An都是可逆的 : : 而且對每個An，都存在唯一的Bn in P : : 使得(Bn)^2=An，稱Bn為An的square root : : 現在假設已知An收斂A 其中A in P : : 且A的square root為B : : 想請問有辦法證明 : : (An)^-1會收斂到A^-1且Bn會收斂到B嗎? : : 另外 : : 假設有一個 map f:P^k->P : : 滿足 : : 若{Ain}是遞減數列且收斂到Ai 對所有的i從1到k : : 則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak) : : 想請問有辦法證明說 : : 只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k : : 則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎? : : 非常感謝大家 : : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 1.165.186.164 : → Vulpix :你先定義一下你的"收斂"吧，作法會因為收斂方法不同 06/01 14:18 : → Vulpix :而有一點點差異(主要是速度的問題吧)。 06/01 14:18 : → linshihhua :但是有限維的向量空間所有的norm不是都等價嗎? 06/01 14:21 : → linshihhua :因為不考慮速度只考慮會不會收斂到不同的點 06/01 14:22 : → Vulpix :另外那一個問題啊，k=1的時候就已經有反例了。 06/01 14:25 : → Vulpix :f取高斯函數就不對了。 06/01 14:25 : → Vulpix :我所謂"速度"是指證明的速度，抱歉沒說清楚。 06/01 14:26 : → Vulpix :前兩個問題答案都是Yes。 06/01 14:28 : → Vulpix :Inv這個函數的"明確表示"我想你應該是知道的，那裡面 06/01 14:30 : → Vulpix :不管是det(An)還是其他cofactor，全部都連續。 06/01 14:30 : → Vulpix :Sqrt應該也可以寫出來的，這種"直接證明"做做也挺好 06/01 14:35 : → Vulpix :玩兒XD 06/01 14:35 謝謝你的幫忙第一個問題我大概了解了第二個問題我嘗試用norm去說明收斂但目前還沒想出來第三個問題其實原本應該是兩個條件就是若{Ain}是遞減且收斂到Ai 對所有的i從1到k 則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak) 和 f((A1n)^-1,(A2n)^-1,...,(Akn)^-1)=(f(A1,A2,...,Ak))^-1 有這兩個條件就可以得到若{Ain}是遞增且收斂到Ai 對所有的i從1到k 則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞增收斂到f(A1,A2,...,Ak) 所以想請問如果再加上遞增也會收斂的這個條件的話可以得出說只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k : : 則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.128.127.91

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Vulpix

06/03 16:22, , 1^F

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linshihhua

06/03 16:33, , 2^F

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Vulpix

06/03 16:43, , 3^F

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