[線代]矩陣數列的收斂問題

看板Math作者 (linshihhua)時間11年前 (2013/06/01 13:59), 編輯推噓0(0推 0噓 15→)
留言15則, 4人參與, 5年前最新討論串1/2 (看更多)
令P為所有的Hermitian positive definite matrices的集合 假設有一個矩陣列{An}，An in P 則我們知道每個An都是可逆的 而且對每個An，都存在唯一的Bn in P 使得(Bn)^2=An，稱Bn為An的square root 現在假設已知An收斂A 其中A in P 且A的square root為B 想請問有辦法證明 (An)^-1會收斂到A^-1且Bn會收斂到B嗎? 另外 假設有一個 map f:P^k->P 滿足 若{Ain}是遞減數列且收斂到Ai 對所有的i從1到k 則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak) 想請問有辦法證明說 只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k 則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎? 非常感謝大家 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.165.186.164
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06/01 14:18, , 1F
你先定義一下你的"收斂"吧，作法會因為收斂方法不同
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06/01 14:18, , 2F
而有一點點差異(主要是速度的問題吧)。
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06/01 14:21, , 3F
但是有限維的向量空間所有的norm不是都等價嗎?
06/01 14:21, 3F
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06/01 14:22, , 4F
因為不考慮速度 只考慮會不會收斂到不同的點
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06/01 14:25, , 5F
另外那一個問題啊，k=1的時候就已經有反例了。
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06/01 14:25, , 6F
f取高斯函數就不對了。
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06/01 14:26, , 7F
我所謂"速度"是指證明的速度，抱歉沒說清楚。
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06/01 14:28, , 8F
前兩個問題答案都是Yes。
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06/01 14:30, , 9F
Inv這個函數的"明確表示"我想你應該是知道的，那裡面
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不管是det(An)還是其他cofactor，全部都連續。
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06/01 14:35, , 11F
Sqrt應該也可以寫出來的，這種"直接證明"做做也挺好
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06/01 14:35, , 12F
玩兒XD
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11/10 11:53, , 13F
前兩個問題答案都是Ye https://daxiv.com
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01/02 15:26, 5年前 , 14F
前兩個問題答案都是Ye http://yofuk.com
01/02 15:26, 14F
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07/07 11:06, 5年前 , 15F
而有一點點差異(主要是 http://yofuk.com
07/07 11:06, 15F
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