[代數] 關於解一元三次方程式的問題

看板Math作者 (man)時間12年前 (2013/05/16 14:16), 編輯推噓1(1推 0噓 14→)
留言15則, 5人參與, 6年前最新討論串1/6 (看更多)
假設有個一元三次方程式 x^3+px+q=0 先考慮 p q都是實數的情形 比如 (x-3)(x-6)(x+9)=x^3-63x+162=0 如果用一般通用的演算法, 令x=u+v 代入後, 解 uv=21 和 u^3+v^3=-162 設 w是 x^3=1 的複數根, 則 u+v, uw+vw^2, uw^2+vw 是原方程式的三個根, 這是一般的演算法 問題是 u,v解出來時常是複數, 也就是帶有虛數 i 的形式如下 (a+bi)^(1/3) 和 (a-bi)^(1/3) 比方上面 x^3-63x+162=0 解出來 a=-81 b=30*(3^1/2) 但我們又知道三個根裡面一定有一個實根, 甚至三個都是實根 比如上面的例子, 三個根是 3 6 -9 所以我們想把虛部給消掉, 因為是實根, 所以一定能消掉 但要如何消掉呢? 而當係數可能是複數時, 也就是說我們不知道三個根裡有沒有實根時, 又如何如道虛部可否消掉呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 221.169.231.152
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05/16 14:18, , 1F
選好branch就行，問題在立方根這個函數。
05/16 14:18, 1F
推
05/16 16:11, , 2F
其實一樓說的跟原 PO 提的 uw+vw^2 uw^2+vw 是一樣的
05/16 16:11, 2F
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05/16 16:13, , 3F
其實我想說的是(a+bi)^(1/3)和(a-bi)^(1/3)亂算的話
05/16 16:13, 3F
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05/16 16:13, , 4F
很可能沒有辦法滿足uv=21之類的方程式
05/16 16:13, 4F
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05/16 18:21, , 5F
解上面那個u v的聯立方程式 方法是 u^3+v^3先平方，
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05/16 18:21, , 6F
減去4*(uv)^3，再開平方，得到u^3-v^3
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05/16 18:24, , 7F
就可以解出u^3 v^3，再分別開立方得u v，這是一般的
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05/16 18:24, , 8F
方法，也是我唯一知道的方法
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05/26 19:16, , 9F
抱歉現在才回...我說的就是"分別開立方"亂算
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什麼叫亂算：u^3+v^3=2,uv=1，按照上面的作法得
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u^3=1, v^3=1。"分別開立方"得u=w,v=w，然後會發現
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05/26 19:20, , 12F
uv不是1。這是亂算造成的(其實就是增根)。
05/26 19:20, 12F
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11/10 11:48, , 13F
u^3=1, v^3= https://muxiv.com
11/10 11:48, 13F
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01/02 15:24, 7年前 , 14F
//muxiv.com https://daxiv.com
01/02 15:24, 14F
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07/07 11:01, 6年前 , 15F
方法，也是我唯一知道的 http://yaxiv.com
07/07 11:01, 15F
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