Re: [微積] 對數(分式)積分
※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 題目：∫(x+2)/[x^(2)-1]
: 答案：(3/2)*ln|x-1|-(1/2)*ln|x+1|+c
: 小弟的想法：
: (x)^(2)-1 = (x+1)*(x-1)
: 那分數的分母應該可以拆成1/(x+1) , 1/(x-1)，
: [1/(x+1)]-[1/(x-1)]=(-2)/[x^(2)-1]
: [1/(x-1)]-[1/(x+1)]=2/[x^(2)-1]
: 怎麼化簡都不對，分子都沒辦法變成(x+2)????
: 到這邊就卡住了，不知道此積分要利用(對數)去計算，該怎麼分化分式？
: 麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
本題 使用Heaviside cover-up method (Heavisde覆蓋法)
x+2 x+2 -0.5 1.5
∫────dx = ∫───── dx = ∫[─── + ───] dx
x^2-1 (x+1)(x-1) x+1 x-1
= 1.5 ln│x-1│ -0.5 ln │x+1│ +c
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◆ From: 140.122.103.131
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因知x^2 -1 =(x+1)(x-1)
x+2 x+2 A B
令 ─── = ────── = ─── + ───
x^2-1 (x+1)(x-1) x+1 x-1
接下來 拿出您可愛的雙手
欲得A 將左式分母的(x+1)蓋起來 其餘部分x代-1 就得到了
欲得B 將左式分母的(x-1)蓋起來 其餘部分x代1 就得到了
因為覆蓋法因為要用到可愛的小手
所以又稱為 Heaviside 手遮法
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Meeting回來了 好累.....
另解： 代值法
已知 x^2-1 =(x+1)(x-1)
x+2 x+2 A
──── = ────── = ─── + E(s)
x^2-1 (x+1)(x-1) x+1
兩端同乘(x+1)得
x+2
──── = A+ (x+1)E(s)
x-1
x=-1代入得 A= -0.5
1.5
再代回整理得 E(s) = ───
x-1
可得
x+2 -0.5 1.5
──── = ─── + ───
x^2 -1 x+1 x-1
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※ 編輯: Heaviside 來自: 111.243.98.10 (05/09 22:36)
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6年前
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