Re: [微積] Df(In)
※ 引述《pop10353 (女乃豆頁車侖)》之銘言：
: Let
: f:R^(nxn) ->R^(nxn)
: f(A)= (A^T)(A)
: Df(In)...
: 我無意之間看到對岸的書說
: 任何的f的矩陣寫成A，在其標準基底下導數就是A本身
: 所以我設 Df(In)=A^T
: || A^T -In || <ε || A-In ||
: 怎麼取δ都怪怪的~"~
假設A,H屬於R^(nxn)
f(A+H)=(A+H)^T(A+H)=A^TA+H^TA+A^TH+H^TH
所以f(A+H)-f(A)=H^T A+ A^T H+H^TH
所以很容易猜df_A(H)=H^T A+A^TH
而|f(A+H)-f(A)-df_A(H)|=|H^TH|<= |H|^2
所以的確df_A(H)=H^TA+A^TH就是我們想要的線性變換(f在A點的微分)。
如果I=Id_n,=> df_I(H)=H^T+H
這裡的絕對值||指的是operator norm。當然你可以取R^(nxn)上的norm，
反正等價。
df_A基本上是切空間T_A(R^(nxn))上的線性算子。
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