[中學] 不等式競賽題

看板Math作者 (葉Sir~)時間12年前 (2013/04/26 20:08), 編輯推噓3(3推 0噓 4→)
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在找不等式的題目時，遇到了幾題問題，懇請版上強者教我 1. 設ΔABC三邊長分別為a,b,c，且令s=(a+b+c)/2。已知ΔABC面積為1， 試求(s-a)^3+(s-b)^3+(s-c)^3 之最小值 Ans: 3^(1/4) 2.設x,y,z,w都是正實數，試證： (1+x)(1+y)(1+z)(1+w)>=(1+(xyz)^1/3)(1+(yzw)^1/3)(1+(zwx)^1/3)(1+(wxy)^1/3) 3. 若對於正實數x，下述不等式恆成立： (x+1/x)^6-(x^6+(1/x)^6)-2>=a[(x+1/x)^3)+(x^3+(1/x)^3)]，求常數a的最大值 ANS:6 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.25.118.150
推
04/26 20:19, , 1F
1.R(1+1+1)^2>=[(s-a)+(s-b)+(s-c)=s]^3
04/26 20:19, 1F
→
04/26 20:20, , 2F
[(s-a)+(s-b)+(s-c)]/3>=[(s-a)(s-b)(s-c)]^1/3
04/26 20:20, 2F
→
04/26 20:21, , 3F
2f,可算出s>=3^(3/4),代回1f,可得證R>=3^(1/4)
04/26 20:21, 3F
→
04/26 21:21, , 4F
大感謝
04/26 21:21, 4F
推
04/26 21:43, , 5F
3.t=x+1/x>=2, 代入整理 t(3t-a)(2t^2-3)>=0
04/26 21:43, 5F
→
04/26 21:44, , 6F
3t-a>=0 ,3t>=a ,但t>=2仍然無法說明a最大??
04/26 21:44, 6F
推
04/26 21:51, , 7F
３t>=６，so a=６
04/26 21:51, 7F
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