Re: [線代] 旋轉矩陣

看板Math作者 (好聽木琴)時間12年前 (2013/04/11 11:09), 編輯推噓3(3推 0噓 31→)
留言34則, 5人參與, 6年前最新討論串4/4 (看更多)
我現在手頭上有21個七維向量　 座標如下: 就是兩個5/7 跟五個-2/7 在那邊排列組合~ 所以總共有 7!/(5!2!) = 21 v1= (5/7,5/7-2/7,-2/7,-2/7,-2/7,-2/7) v2= .... v3= .... ... ... v21= ... 現在問題如下: 這21個向量　都滿足 x_1 + x_2 + ... x_7 =0 所以他們躺在R^6裡面，你知道　我知道　獨眼龍也知道 必定存在一個矩陣A (7x7) in SO(7)， 使得A作用在這21個向量上會變成第七個component是0的向量。 就是把他們打回R^6。 請問這矩陣是? 我只知道第七列會全為1~~~ 還有42個位子要決定... XD 就幾何觀點，這個矩陣A其實會fix住五個向量　　然後在某個R^2平面作旋轉 即使知道這個好像還是不知道怎麼把矩陣A確切寫出~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 71.114.93.173
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03/28 15:48,
隨便找一個A把(1,1,1,1,1,1,1)/sqrt(7)轉到e_7就行？
03/28 15:48
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03/28 17:55,
話說...為什麼你會覺得A固定5個維度？
03/28 17:55
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03/29 00:44,
是固定五個維度沒錯吧
03/29 00:44
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03/29 00:45,
all one 向量轉到e_7步就是依個平面旋轉?
03/29 00:45
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03/29 00:45,
然後固定住五個向量嗎?
03/29 00:45
算了一下 V大說的不對~~ If A 矩陣，除了A_77 entry是sqrt(7) 其他全為0，這樣這個矩陣的確把 (1,1,1,1,1,1,1)/sqrt(7)轉到e_7 可是沒辦法把那21個向量打成第七個component是0... ※ 編輯: permath 來自: 71.114.93.173 (03/29 00:51)
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03/29 02:17,
要"轉"，當然不是這種隨便的矩陣啊= =|||
03/29 02:17
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03/29 02:18,
是說一個隨便的旋轉矩陣...
03/29 02:18
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03/29 02:20,
固定5個維度的A應該都不能滿足你的條件...
03/29 02:20
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03/29 02:22,
一個旋轉矩陣可以同時轉1號2號維度、也轉3號4號維度
03/29 02:22
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03/29 02:24,
用Gram-Schmidt找到跟all one向量互相垂直的向量
03/29 02:24
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03/29 02:26,
然後一個一個放進矩陣裡，調整順序使得det(A)>0就好
03/29 02:26
不知道　V大有沒有確切寫出來這矩陣，我算的如下 把 N1=(1,1,1,1,1,1,1) 旋轉到 e7=(0,0,0,0,0,0,1) 首先考慮N1跟e7的共垂向量 應該是 (1,-1,0,0,0,0,0) (1,0,-1,0,0,0,0) (1,0,0,-1,0,0,0) (1,0,0,0,-1,0,0) (1,0,0,0,0,-1,0) 所以我想的是這五個固定住，然後在N1跟e7張成的二維平面上旋轉 \theta角 \theta = N1跟e7的夾角。 簡單說這個旋轉矩陣的Jordan form應該是 I_5 block 跟　2x2旋轉\theta　block 然後basis是 那五個共垂向量在前　最後兩個擺N1/sqrt(7) 跟e7 這樣應該對吧.... ? 所以V大說的固定五個維度的A無法滿足我的條件 這句話是不是錯的呢? 或者我的計算跟想法哪邊出了問題　？　 Anyway，thanks. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 71.114.93.173
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03/30 02:28,
嗯，抱歉，固定5個維度的A可以有。
03/30 02:28
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03/30 03:37,
總之你要的矩陣長這樣：
03/30 03:37
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03/30 03:38,
第七列全部都是1/sqrt(7)
03/30 03:38
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03/30 03:38,
第七行剩下的六個都是-1/sqrt(7)
03/30 03:38
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03/30 03:40,
左上角的6*6是I_6+[全部是(sqrt(7)-7)/42的矩陣]
03/30 03:40
V大，可以在請教一下嬤? 你這個矩陣如何得到的? 我用matlab嘗試過了 你這個矩陣是對的.. 可是不知道哪是如何得到~~~ 我還有個疑問，如果我寫的矩陣 一樣可以把 N=(1,1,1,1,1,1,1) 旋轉到e_7上. 那是不是代表著 其實if matrix A \in SO(7) 然後A是把N旋轉到e_7上的旋轉矩陣 這樣的A有無窮多種? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 71.114.93.173
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04/11 18:53, , 1F
是無窮多沒錯啊，用A轉過以後還可以在剩下5維中亂轉
04/11 18:53, 1F
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04/11 18:53, , 2F
所以有一個SO(5)這麼多
04/11 18:53, 2F
→
04/11 23:36, , 3F
那V大你寫的那個是如何寫的? 其他五個維度是?
04/11 23:36, 3F
推
04/12 00:19, , 4F
可以用高斯消去法嗎? 再搭配elementary matrices, 就
04/12 00:19, 4F
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04/12 00:19, , 5F
可以求出來了.
04/12 00:19, 5F
推
04/12 01:51, , 6F
再來你確定 A \in SO(7) 嗎? A is not orthonormal.
04/12 01:51, 6F
→
04/12 01:52, , 7F
我求出來是這樣 (一個 row 一個 row 寫):
04/12 01:52, 7F
→
04/12 01:52, , 8F
[-0.5 0 0 0 0 0 0]
04/12 01:52, 8F
→
04/12 01:53, , 9F
[-1/7 0 0 0 1/7 0 0]
04/12 01:53, 9F
→
04/12 01:54, , 10F
[0.2143 0 0 0 1/7 1/7 0]
04/12 01:54, 10F
→
04/12 01:54, , 11F
[-1/7 0 0 1/7 0 0 0]
04/12 01:54, 11F
→
04/12 01:54, , 12F
[-1 0 1 0 0 0 0]
04/12 01:54, 12F
→
04/12 01:54, , 13F
[-1 1 0 0 0 0 0]
04/12 01:54, 13F
→
04/12 01:55, , 14F
[1 1 1 1 1 1 1]
04/12 01:55, 14F
→
04/12 02:21, , 15F
我的寫法是找了一個方陣S，而且AS很好算。
04/12 02:21, 15F
→
04/12 02:22, , 16F
最後A=AS*S^(-1)就結束了，過程中最煩的是求S^(-1)
04/12 02:22, 16F
→
04/12 02:23, , 17F
抱歉說錯了，過程中最煩的是：計算(AS)*S^(-1)
04/12 02:23, 17F
→
04/12 02:25, , 18F
S的前七行用span{e_7,N}的orthogonal complement的
04/12 02:25, 18F
→
04/12 02:26, , 19F
一組正交基底，第六行擺N，第七行擺一個跟前六行
04/12 02:26, 19F
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04/12 02:28, , 20F
都正交的向量（要單位化）。AS則會是：
04/12 02:28, 20F
→
04/12 02:29, , 21F
五行用span{e_7,N}的... 打錯字，更正
04/12 02:29, 21F
→
04/12 02:30, , 22F
前五行跟S的前五行一樣，第六行擺e_7，第七行不難算
04/12 02:30, 22F
→
04/12 02:30, , 23F
S^(-1)也很簡單，就是S^T。剩下的就是矩陣乘法。
04/12 02:30, 23F
→
04/12 14:24, , 24F
對了，我這兒的N都是all one/sqrt(7)
04/12 14:24, 24F
→
04/12 14:25, , 25F
所謂的其他5維當然是指著
04/12 14:25, 25F
→
04/12 14:25, , 26F
span{e_7,N}的orthogonal complement而言了
04/12 14:25, 26F
推
04/12 16:39, , 27F
其實用高斯消去法搭配 elementary matrices 很快.
04/12 16:39, 27F
→
04/12 18:01, , 28F
well...只是要符合只轉兩個維度而且把N轉到e_7而已
04/12 18:01, 28F
→
04/14 03:01, , 29F
感謝樓上兩位的推文~
04/14 03:01, 29F
→
08/13 17:33, , 30F
[-1 0 1 0 0 https://noxiv.com
08/13 17:33, 30F
→
09/17 15:26, , 31F
總之你要的矩陣長這樣： https://daxiv.com
09/17 15:26, 31F
→
11/10 11:38, , 32F
一組正交基底，第六行擺 https://noxiv.com
11/10 11:38, 32F
→
01/02 15:21, 7年前 , 33F
[-0.5 0 0 0 https://daxiv.com
01/02 15:21, 33F
→
07/07 10:52, 6年前 , 34F
最後A=AS*S^(- http://yofuk.com
07/07 10:52, 34F
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