Re: [線代] 旋轉矩陣
※ 引述《permath (亢龍有悔)》之銘言：
我現在手頭上有21個七維向量
座標如下: 就是兩個5/7 跟五個-2/7 在那邊排列組合~
所以總共有 7!/(5!2!) = 21
v1= (5/7,5/7-2/7,-2/7,-2/7,-2/7,-2/7)
v2= ....
v3= ....
...
...
v21= ...
現在問題如下: 這21個向量 都滿足 x_1 + x_2 + ... x_7 =0
所以他們躺在R^6裡面，你知道 我知道 獨眼龍也知道
必定存在一個矩陣A (7x7) in SO(7)，
使得A作用在這21個向量上會變成第七個component是0的向量。
就是把他們打回R^6。 請問這矩陣是?
我只知道第七列會全為1~~~ 還有42個位子要決定... XD
就幾何觀點，這個矩陣A其實會fix住五個向量 然後在某個R^2平面作旋轉
即使知道這個好像還是不知道怎麼把矩陣A確切寫出~~
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算了一下 V大說的不對~~
If A 矩陣，除了A_77 entry是sqrt(7) 其他全為0，這樣這個矩陣的確把
(1,1,1,1,1,1,1)/sqrt(7)轉到e_7
可是沒辦法把那21個向量打成第七個component是0...
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不知道 V大有沒有確切寫出來這矩陣，我算的如下
把 N1=(1,1,1,1,1,1,1) 旋轉到 e7=(0,0,0,0,0,0,1)
首先考慮N1跟e7的共垂向量
應該是 (1,-1,0,0,0,0,0)
(1,0,-1,0,0,0,0)
(1,0,0,-1,0,0,0)
(1,0,0,0,-1,0,0)
(1,0,0,0,0,-1,0)
所以我想的是這五個固定住，然後在N1跟e7張成的二維平面上旋轉 \theta角
\theta = N1跟e7的夾角。
簡單說這個旋轉矩陣的Jordan form應該是 I_5 block 跟 2x2旋轉\theta block
然後basis是 那五個共垂向量在前 最後兩個擺N1/sqrt(7) 跟e7
這樣應該對吧.... ?
所以V大說的固定五個維度的A無法滿足我的條件 這句話是不是錯的呢?
或者我的計算跟想法哪邊出了問題 ？ Anyway，thanks.
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