Re: [其他] 極限三角函數解法
※ 引述《pigheadthree (心)》之銘言：
: 題目：lim (1-cosx)/x^(2)
: x->0
: 答案：1/2
: 小弟的想法：
: sin^2(x)+cos^2(x)=1
: 又 lim sinx/x = 1
: x->0
: 但是又該怎麼化簡此題的解法呢？
: 小弟實在無從下手，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
推
,
令u=x/2 ,當x→0，u→0
1-cosx 2sin^2(x/2) sin^2(u) 0
原題=> lim ──── = lim ────── = lim ──── = ───
x→0 x^2 x→0 4(x/2)^2 u→0 2u^2 0
為不定型， 使用羅畢達法則
2sin(u)cos(u) 0
lim ─────── = ─── 再次使用羅畢達法則
u→0 4u 0
sin(u)cos(u) cos^2(u)-sin^2(u) 1
lim ────── = lim ───────── = ── 為解
u→0 2u u→0 2 2
註:
d[sin^2(x)]=2sin(x)d(sinx)=2sin(x)cos(x)
d(sinxcosx)=sinxd(cosx)+cosxd(sinx)
=sinx‧(-sinx) +cosx‧(cosx)=cos^2(x)-sin^2(x)
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