Re: [其他] 突然很好奇的問題
※ 引述《hardway ( )》之銘言：
: 如果一份考卷有一百題是非 我完全不會寫
: 但我已經事先知道其中圈與叉各五十題
: 那我各種圈叉比例的分配 得到的分數期望值是多少
: 應該如何計算？請問這類的題目應該是哪種分類?
: 問題可能很粗淺＠＠ 不好意思
這算 "應用機率" 問題.
假設100題中 ○ 是 K 題, ╳ 是 100-K 題.
若答題是任選 n 題為 ○, 另 100-n 題為 ╳.
則 K 題 ○ 的答對題數機率是
P[X=x] = C(K,x)C(100-K,n-x)/C(100,n).
100-K 題正確答案是 ╳ 的被誤選為 ○ 的有 n-x 題,
因此答對題數是 (100-K)-(n-x) = 100+x-n-K.
所以, 總答對題數是 y = x+(100+x-n-K) = 2x+100-n-K.
令 Y 為總答對題數, 則
Y = 2X+100-n-K.
E[X] = n*(K/100),
所以 E[Y] = 2nK/100+100-n-K = n(2K/100-1)+100-K.
當 K = 50 時, 任何答題策略得到相同期望值: 50.
當 K>50 時, 最佳(期望答對題數最高)策略是 n=100;
反之, 當 K<50 時, 最佳策略是 n=0.
也就是說: ○ 比較多就通通選 ○; ╳ 比較多就都畫 ╳.
又:
Var(Y) = 4*Var(X)
= 4*n(K/100)(1-K/100)(100-n)/(100-1)
= 4n(100-n)*[K(100-K)/990000]
當 n=50 時, 風險最大 ---- 運氣成分最高. 運氣不好該
畫 ╳ 的多選 ○, 該選 ○ 的多畫 ╳; 運氣好的話怎麼
選怎麼對. 誠所謂高風險才有高報酬.
而 n=0 或 100 時, 也就是一律畫 ╳ 或一律選 ○, 則
期望值不再只是 "期望", 而是確定成績.
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