Re: [中學] 對數不等式
※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 設x>=1,y>=1,z>=1,a>1 ,
: A=[(log_a x)/(1+log_a x)]+[(log_a y)/(1+log_a y)]+[(log_a z)/(1+log_a z)]
: B=(log_a xyz)/(1+log_a xyz)
: 試證A>=B ,並求等號成立的條件
: 希望有板友給點提示, 謝謝.
令 X = log_a x
Y = log_a y
Z = log_a z
原式可改寫為 X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z) ≧ (X+Y+Z)/(1+X+Y+Z)
由柯西不等式
[X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z)][X(1+X) + Y(1+Y) + Z(1+Z)] ≧ (X+Y+Z)^2
所以 [X/(1+X) + Y/(1+Y) + Z/(1+Z)] ≧ (X+Y+Z)^2/[X(1+X) + Y(1+Y) + Z(1+Z)]
而 (X+Y+Z)(1+X+Y+Z) ≧ X(1+X) + Y(1+Y) + Z(1+Z) （１）
移項可得 (X+Y+Z)/[X(1+X) + Y(1+Y) + Z(1+Z)] ≧ 1/(1+X+Y+Z)
所以 (X+Y+Z)^2/[X(1+X) + Y(1+Y) + Z(1+Z)] ≧ (X+Y+Z)/(1+X+Y+Z)
其中（１）式中展開兩者
可得到 2XY+2YZ+2ZX ≧ 0
因為 log中底數與指數皆≧1
所以X Y Z皆為正
最後 等號成立在以下至少兩者成立： X=0 Y=0 Z=0 代表是 x,y,z其中至少有兩個為1
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◆ From: 124.11.128.7
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