Re: [分析] 一題級數展開 (已解決)

看板Math作者holgaga (Ice)時間11年前 (2013/01/30 20:53)推噓2(2推 0噓 14→)

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※ 引述《tiger790815 (獅子)》之銘言： : 大家好 : 我在念物理數學時在碰到了下面的問題 : 推導Riemann Zeta function ζ(2n)之值時 : 2n : ∞ n (2 x) : 其中有一步驟是將: x cot(x) 展開成 Σ (-1) B --------- : n=0 2n (2 n)! : ( 其中 B 是Bernoulli numbers) : 2n : 2 : ∞ x : 課本上是寫說利用 sin x = x Π (1 - -------) : n=1 2 2 : n π 不好意思，想藉這一題問一個問題上面那個sin(x)寫成連乘的式子我知道是利用因式定理又因為sin(nπ)=0 所以sin(x)可以寫成 a(x-0)(x+π)(x-π)...(x+nπ)(x-nπ)... 再利用平方差 sin(x)=ax(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)... 但是我忘記要怎麼求那個未定係數a了我有想過把x代一個值(代π/2之類的) 但不知道代哪個數字比較方便求出a 想請高手指點另外還請問這個把sin(x)寫成連乘的式子我應該google甚麼關鍵字呢? sorry因為這是很久以前學到的東西了印象只到這邊... -- 自問自答: sin(x)=ax(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)... sin(x)/x=a(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)... lim[sin(x)/x]=lim[a(x^2-π^2)(x^2-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...] x->0 x->0 cos(0)=a(-π^2)(-(2π)^2)...(-(nπ)^2)... a=1/[(-π^2)(-(2π)^2)...(-(nπ)^2)...] 帶回原式就能得到上面看到的sin(x)無限連乘展開 : ∞ ∞ x 2m : 可將 x cot(x)表示成 1 - 2 Σ Σ (-----) : m=1n=1 nπ : -------------------- : ^ : | : 我算了很久都沒有辦法得到 : 不知道有沒有什麼關鍵的步驟 ? : 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.162.58.107 ※ 編輯: holgaga 來自: 1.162.58.107 (01/30 20:53)

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holgaga

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※ 編輯: holgaga 來自: 1.162.58.107 (01/30 21:58)

推

suhorng

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suhorng

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