Re: [線代] 矩陣近似解
※ 引述《james2009 (瑋仔)》之銘言：
: ※ 引述《leo790124 (4浩)》之銘言：
: : Find s,t such that [1 0][s] is as close as possible to [1]
: : [0 1][t] [1]
: : [1 1] [0].
: : 不懂他的想要問什麼???
: : 請大大幫忙解答
: : 謝謝。
我會覺得是考最小方差的東西
令 [1 0] [s] [1]
[0 1] = A, [t] = x , [1] = b
[1 1] [0]
欲解 Ax = b 這個線性方程，這個方程要有解基本上 b 必須在A的column space裡
如果不在的話，我們就必須另闢蹊徑，選擇解 Ax = p, p 是 b 在column space的投影。
複習高中數學，兩向量 a, b如果我要求 b在a上的投影
t
a b
基本上就是 [(a。b)/|a|]╳ (a/|a|) = －－－ a, t代表轉置
t
a a
把a移到前面去，可以寫出投影矩陣
t
^ a a
P = －－－
t
a a
今天要求的b在column space上的投影
所以對於A的每個column 我都有類似上面的結論
t -1 t
結合成矩陣就是 A (A A) A
______________________________________
推導：
假設 A = [a_1, a_2, ...], a_i都是column vector
p 是 b 在 column space上的投影
原本的問題 Ax = b無解退而求其次欲解 A y = p
b - p = e, 由於 p是投影，所以 e應該要跟column space正交
故
t t
a_i (b - p) = a_i (b - Ay) = 0
把每個 i 都算進去，所以等同解
t t t -1 t
A A y = A b, 所以 y = (A A) A b <-------要的解
t -1 t
p = Ay, 所以 p = A(A A) A b
_____________________________________
t [1]
A b = [1]
t
A A = [2 1]
[1 2]
t -1 t [1/3]
y = (A A) A b = [1/3]
好晚了不知道有沒算錯orz
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