Re: [幾何]manifold的座標轉換

看板Math作者herstein (翔爸)時間11年前 (2013/01/17 22:13)推噓4(4推 0噓 11→)

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※ 引述《linshihhua (linshihhua)》之銘言： : differentiable manifold 上的 differentiable structure 要求 : 任兩個 local chart (U1,X1), (U2,X2) 若 U1∩U2 不為空集合 : 則座標轉換 X1。X2^-1 以及 X2。X1^-1 要屬於 C^∞ : 想請問是否可以利用反函數定理 : 來得到座標轉換的 Jacobian 的行列式一定不為 0 ? 其實不是用反函數定理啦。假設f=X1。X2^-1, g=X2。X1^-1 位了方便起見我們令f與g的定義域分別V1, V_2 所以f:V_1-> V_2, g:V_2-> V_1因此 (gf)=id_V_1。利用微分連鎖律 dg df =id, dg df=id, 其中id記為恆等映射，而df:R^n-> R^n (反正你就任取V_1上的點把T_p R^n看成R^n) 所以取行列式之後det(dg)det(df)=1=> det df不為零。而det df就是 Jacobian行列式。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 132.64.26.132

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linshihhua

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linshihhua

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linshihhua

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linshihhua

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你的這問題有點奇怪，因為反函數定理是先確定det df_a不等於零，才知道存在a點的neighborhood U使得f在f:U-> f(U)是微分同胚。跟函數本身是不是1-1無關。如果函數本身是微分同胚，Jacobian不為零的證明就是我給出的。 ※ 編輯: herstein 來自: 79.183.111.244 (01/18 04:48)

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willydp

01/18 07:54, , 7^F

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keroro321

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keroro321

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