Re: [中學] 跟期望值有關的謬論

看板Math作者yhliu (老怪物)時間13年前 (2012/12/05 16:28)推噓2(2推 0噓 23→)

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貼一下舊文... 時間 2006/06/24 Sat 06:25:00 ※ 引述《reterk (reterk)》之銘言： : 題目： : 　　　有兩個箱子各藏有一份獎金其中一份獎金是另一份的金額的兩倍 : 　　　某來賓選定一個箱子並且打開得到獎金 y 元 : 　　　主持人讓來賓決定要不要放棄此 y 元以換得另一個箱子的獎金？其實, 詭論之所以發生, 即使不是全部, 也多數是因思考上的盲點. 如 west1996 說的, the exchange paradox 的盲點,是把確定(但未知)的東西, 當成隨機量, 並隨意地附予機會均等的假設. 確定而未知的量, 就是統計模型中的 parameter(s). 也就是說: 本來應是統計推論問題, 卻被當做機率計算問題在思考! 這與電視抽獎遊戲的 "換不換" 是完全不同的問題! 1998 年的那篇一開始就指出這一點來了. 把這問題用統計問題來看, 群體是{θ,2θ}, 我們不知θ 是多少, 但我們有機會抽取(隨機地)群體兩個觀測值之中的一個, 以 Y 表示: P[Y=θ] = 1/2 = P[Y=2θ] 若換成另一個, 以 X 表示, P[X=2θ] = 1/2 = P[X=θ] 因此, 換不換期望值都是 3θ/2. 看到 Y=y 再決定換不換有差嗎? 從傳統 (非貝氏) 方法來看, θ 的一個合理估計量是 θ^ = 2Y/3 估計值 2y/3. 因此估計 E[X] 是 (E[X])^ = 3(θ^)/2 = 3(2y/3)/2 = y. 若從貝氏觀點, 可付與θ一個先驗分布 (prior distribution). 於是, y 的結果與該先驗知訊比較, 可得換不換何者較佳的決策. 問題是: 如果有過去經驗可有效而正確描繪出先驗分布, 而且有理由相信目前的情況(群體)與過去相同, 貝氏方法的結論才是有用的. 隨意地訂下一個先驗分布的貝氏分析, 只不過是自欺欺人的把戲罷了! 發信人: cweng.bbs@csie.nctu.edu.tw (呆), 信區: math 標題: 一些機率問題發信站: 交大資工鳳凰城資訊站 (Mon Oct 12 15:35:54 1998) 轉信站: bar!chinese.iie.ncku!news.iie.ncku!news.ncku!news2.ncku!news.nctu!ctu-g 從大於0的實數任取一個然後丟銅板如果正面就再取另一為原來兩倍的實數如果反面就取原來的2分之一的實數 1. 請問得到兩倍或二分之一的數機率是否各一半今取到兩個數, 假設一數為x另一數為2x 2. 從兩數中認取一數, 拿到x與2x的機率是否各一半現在開始思考拿另外一數是否較好 3. 原先拿到的數假設是y(當然y=x或2x), 換另外一數, 會變兩倍或會變二分之一的機率是否與y的值無關且各為一半 4. 換另外一數後可能得到的數的期望值是否為 2y*1/2+(y/2)*(1/2)=5y/4 5. 所以不管你第一次想拿什麼, 就去拿另一個數將會拿到原先想拿的5/4倍的數 6. 如果依此要領不停的換那你可能拿到的數期望值是無限大了 7. 可是這兩個數是確定的x與2x阿! 我有一點了解電視上玩抽獎遊戲時主持人問要不要換時一般人就會換的道理發信人: yhliu@bar (......), 信區: math 標題: Re: 一些機率問題發信站: 成大資訊所_BBS ( Oct 12 18:16:49 1998) 轉信站: bar 這個問題和先前抽獎的問題並不相同 (不過...也許你所談的也不是本版先前在談的抽獎問題﹖)。倒是與所謂 exchange paradox 類似, 可參考 Christensen and Utts (1992), "Bayesian resolution of the 'exchange paradox'." The American Statistician, V.46, N.4, pp.274-276. 但你的問題描述有些不清楚.... 如果是丟銅板決定是拿 x 的 1/2 或拿 2x, 則期望值是 5x/4 沒錯, 也就是丟銅板換獎金, 就期望值來看是比不丟而直接拿 x 有利。若此程序能繼續做, 期望值當然是愈來愈大! 注意第二次丟時可能結果是 x/4, x, 4x, 其機率依次為 1/4, 1/2, 1/4, 期望值 25x/16. 原來的 exchange paradox 換成你的描述可能是: 有兩數 x, 2x。今你取一數; 而你有機會換另一數。因此你考慮: 我所取的數有 1/2 機會是 x; 設取得的數是 y。若換, 則有 1/2 機會取得 2y, 1/2 機會是 y/2, 期望值 5y/4。但反過來, 當你換了以後, 設拿到的是 z, 則同樣的思考會認為再換回來期望值是 5z/4。所以: 換來換去, 似乎愈換愈好.... 發信人: yhliu (......), 信區: math 標題: Re: 一些機率問題日期: Tue Oct 13 17:12:55 1998 此一問題固然有文獻可查考, 但我個人的想法是: 事實上, 上述「換較好」的考慮是有問題的! 因為在考慮換得結果是現有值的 1/2 或 2 倍時, 現有值並不相同! 換言之, 2y 和 y/2 的 y 是不同的! 同理, 換了以後的 z, 再考慮換回來時, z/2 和 2z 的 z 也是不同值。若不換, x 和 2x 各 1/2 的機會, 期望值是 3x/2。若換: x->2x 機會 1/2; 2x->x, 機會也是 1/2; 也就是說: 換了以後拿 2x 和 x 的機會仍各是 1/2, 所以期望值仍是 3x/2, 並未改變! -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 有統計問題? 歡迎光臨統計專業版! :) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.41.99.152

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eric00031

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