[中學] 跟期望值有關的謬論

看板Math作者eric00031 (eric00031)時間13年前 (2012/12/05 15:16)推噓5(5推 0噓 21→)

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一場獎金遊戲中，有A、B兩扇門供參賽者選擇。主持人表示，兩扇門後皆有獎金，但其中一扇門的獎金是另一扇的兩倍。但是主持人並未公布兩扇門相加的總獎額是多少。接著，參賽者選擇了A門，打開後獎金是100元。主持人給予了參賽者一次換門機會，參賽者開始計算兩扇門的獎金期望值： A門毫無疑問的是100元獎金。 B門獎金有兩種可能，即50元或200元，且機率各半 (取決於A門是大獎或小獎) 由此知B門獎金期望值是125元，果斷換門。但是，這個結論應該是錯誤的。如果A門是100元就要換門，那幾元就不換？如果不管幾元都要換，為什麼不一開始就選B門？選了B門亮出獎金後，透過同樣推論又發現應該換A門!? 試改變題目情境如下：參賽者賣弄數學，選門前就預先拿出紙筆作計算。假設A門獎金是a元，B門是b元。選擇A門就可以拿到a元，而b=0.5a或是2a，所以b的期望值是1.25a，大於a，應該選B門，但選了B門後，再去估計A門的獎金又會發現a的期望值是1.25b，這就造成了循環下去的矛盾，當然，在沒有任何資訊的情況下選門，絕對是公平的，兩扇門理應有相同的期望值，那麼上述推論的錯誤又在哪裡？正確的計算應該是這樣的：獎金總額是3x元的話，只有兩種情況，a=2x，b=x或是a=x，b=2x。所以a和b的期望值都是(2/3)x，換不換門都是無所謂的。雖然我覺得我已經找到正確的算法，但我還是不會解釋錯誤算法的錯誤點在哪裡… 試著誇張化題目：兩扇門的獎金倍數差變成1億倍，你開了A門發現是1元，那難道不意味著B門可能是1億元或是0元？ (一億分之一太小，當作0元來看) 並且1億元和0元機率難道不是各半嗎？這種情況下真的不需要換門？換了門頂多損失1元，但卻可能得到1億！希望有高手提供解釋，能針對謬論的錯誤點攻擊。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.175.140

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APM99

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APM99

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dorminia

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eric00031

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eric00031

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eric00031

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※ 編輯: eric00031 來自: 140.112.175.140 (12/05 15:53)

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APM99

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eric00031

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eric00031

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APM99

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我的意思是，你心中選定某門後，無論獎金多少，都勢必換門，那為何不一開始就選另一扇門？一旦你依此想法選了另一門，同樣的問題又出現了。這跟三門問題的不同在於，主持人知曉哪個門有獎而不會公布該門，但是這題中主持人完全沒插手，從頭到尾是參賽者在腦補... ※ 編輯: eric00031 來自: 140.112.175.140 (12/05 16:02) ※ 編輯: eric00031 來自: 140.112.175.140 (12/05 16:04)

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bbenson

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eric00031

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APM99

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