Re: [微積] 為何sin(1/x)是integrable?

看板Math作者microball (無華之果)時間13年前 (2012/12/05 02:28)推噓0(0推 0噓 13→)

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(之前的筆記剛好有這題:) 試證 sin(1/x) 在 [0,1] 可積。 (這個函數有趣的就是在0點附近無窮震盪) 這個積分若存在，一定介於 [-1,1]。唯一需要擔心的是無窮震蕩會不會讓積分不存在。 (方法一) 利用 Lebesgue's criterion: 若函數在 compact set S 上面處處有界有定義，而且不連續點集合測度為0 則函數在 S 上可積。 (方法二) 變數代換 y = 1/x, 可以證明積分收斂 (但是好像沒有 close form)。 (方法三) 幾何想法：這個積分可以想像成正向跟負向的面積和。當靠近0的時候，面積都趨近於零 --> 因可從數列證明這個面積和收斂：交互級數收斂條件：若遞減交替級數(每項都是一正一負)，其絕對值趨近於零，則級數收斂。 ※ 引述《Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)》之銘言： : 因為用手機發文，所以排版不太好，還請各位多多包涵... : 最近讀到 : lebesgue integrability and Riemann integrable : 有個範例是： : The function f:(0,1) -> R defined by : f(x) = sin(1/x) : Is bounded and continuous, and therefore integrable, : On (0.1). But it is not piecewise : continuous because f(0+) does not : exist. : 我覺得在x->0+的跳動很大，不知會是靠近1還是-1，所以總覺得沒辦法積分，不知道這跟下列這段有沒有關，因為我看不太懂 : the simple criterion for integrability given by Lebesgue: : A subset of R is said to have measure zero if and only if it can be enclosed in a finite or infinite sequence of open intervals whose combined total length - the sum of a finite or infinite series whose terms are the lengths of the individual intervals - is arbitrarily small, that is, smaller than any press signed positive number. Then Legesgue showed that f is Riemann integrable on (a,b) if and only if the set of points where f is discontinuous has measure zero. : 麻煩各位了~謝謝~ -- 才華不會令人幸福，而自私卻能解除人的痛苦。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 216.165.95.73

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