Re: [代數] 怎麼快速的算出這個值
※ 引述《keepaway (你認識Anita嗎?)》之銘言：
: 我在計算一個類似的式子
: 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1
: 長得一樣只是我在計算的長很多
: 我目前試想到把他改成 4*4 + 4 + 3*3 + 3 + 2*2 + 2 + 1*1 + 1
: 然後在平方用平方和 另外一個用等差數列
: 不知道有沒有更直接的方法呢?
稍微改一下 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1
= 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5
你要的是Σk(k+1) k從1到4 對吧!
n
先回憶一下Gauss小時候算的 Σ k = n(n+1)/2
k=1
n
而我們要算的 Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3
k=1
n
其實可以繼續推廣 Σ k(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
k=1 ......依此類推
為什麼會這樣呢??
n
我先改寫一下Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3
k=1
n
Σ (k-2)(k-1) = (n-2)(n-1)n/3
k=3
n
Σ (k-2)(k-1)/2 = (n-2)(n-1)n/6 (上式兩邊同時除以2)
k=3
n
Σ C(k-1,2) = C(n,3)
k=3
可以用用巴斯卡三角形 C(n-1,k-1)+C(n-1,k) = C(n,k) 得到上式
n=6 時 C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)= C(6,3)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 11 20 11 6 1
C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)
= C(3,3)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)
= C(4,3)+C(4,2)+C(5,2)
= C(5,3)+C(5,2)
= C(6,3)
--
Weierstrass在當中學老師時，有一天他的班級沒有人來上課，
校長到他住的地方才發現他家裡的門廉還沒打開，進到房子裡後發現他還點
著燈在書桌上思考，投入的程度連已經過了一天還不自覺。
校長叫他回去上課，他回說：
"我現在在想的問題是科學史上一個很重要的問題，所以不能被打斷"。
--
→
11/27 19:18, , 1F
11/27 19:18, 1F
→
11/27 19:34, , 2F
11/27 19:34, 2F
補一下suhorng大大的方法
k(k+1)= k(k+1)[(k+2)-(k-1)]/3
= k(k+1)(k+2)/3 -(k-1)k(k+1)/3
1x2 = 1x2x3/3 - 0
2x3 = 2x3x4/3 - 1x2x3/3
3x4 = 3x4x5/3 - 2x3x4/3
.
.
.
+) n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3 - (n-1)n(n+1)/3
------------------------------------------------------
n
Σ k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3
k=1
※ 編輯: thisday 來自: 140.112.244.185 (12/18 13:48)
討論串 (同標題文章)