Re: [中學] 多項式分式求極值？

看板Math作者oNeChanPhile (親姐基)時間11年前 (2012/11/25 17:36)推噓3(3推 0噓 4→)

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※ 引述《xx52002 (冰清影)》之銘言： : 4x^2 - 3x + 1 : ───────，如何用高中方式求其最大值及最小值？ : 4x^2 + 3x + 1 : 寫成1 - 6x/分母，然後後面那東西用微分去求出x = 正負0.5時有極值沒問題， : 可高中的時候應該要怎作咧囧？這題也可以用構造法跟 Appolonius 圓來解（以前的高中程度）雖然不會比較快但很有趣將原式改寫為 2 2 x^2 - 3x/4 + 1/4 (x- 3/8) + (0 - √7 / 8) ───────── = ──────────── x^2 + 3x/4 + 1/4 2 2 (x+ 3/8) + (0 - √7 / 8) 則可將原問題轉化成： __ __ 2 下圖中x軸上一點P，到定點 B,A 之距離平方比 (PB / PA) 之極值為何？ ↑ A(-3/8,√7/8) ｜ B(3/8,√7/8) ． ┼ ．｜｜｜ ─────────┼──────┼───→ P(x,0) 注意「到兩定點距離比為定值」的點集合軌跡為一圓形(Appolonius圓) __ __ 不難觀察到：PB/PA之極小值 k，將發生在此圓半徑＝√7/8 的情況，即 Appolonius 圓與 x 軸相切於 P 點之情形。 ↑ A(-3/8,√7/8) ｜ Q B R ．────┼── :─．─────: ┬ ｜ . . ｜ √7 ｜ : : ｜ R = ── ｜ ':.. ..:' ｜ 8 ─────────┼──────┼───→ ┴ P __ __ 設 QA = a , QB = ka, k 為所求之極小值 __ 則可得 AB = (1+k)a = 3/4 .....(1) __ __ 2R-ka √7 - 4ka RB:RA = k = ──── = ────── .......(2) a + 2R 4a + √7 由(1)代入(2) 消去 a，解得 k = 1/√7 , -√7(負不合) 故原式之極小值為 (1/√7)^2 = 1/7 由圖之對稱性知極大值為極小值之倒數 7 # -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.39.235.235 更正：忘了平方 XD ※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.39.235.235 (11/25 17:40)

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