Re: [中學] 中山附中高一輔助教材
※ 引述《BePi (逼屁)》之銘言：
: x,y為實數
: x^2 + xy + y^2 = 3x + 3y +9
: 求 x^2 + y^2 的最大值與最小值
: Ans: 27(或是29我忘了) , 2
首先由最小平方法做三次配方：
y 2 3 2
(x+ ---) + ---y - 3x - 3y = 9
2 4
y 2 y 3 2
(x+ ---) -3(x+ ---) +---(y -2y) = 9
2 2 4
y 3 2 3 2 9 3
(x+ --- - ---) + ---(y-1) = 9 + --- + --- = 12
2 2 4 4 4
再利用科西不等式可找得(x+y)之範圍：
y 3 2 √3 2 2 1 2 y 3 y 1 2
[(x+ --- - ---) + (---(y-1)) ][1 +(---) ]≧(x+ --- - --- + --- - ---)
2 2 2 √3 2 2 2 2
4 2
12×--- ≧(x+y-2) => -2≦x+y≦6
3
2 2
接下來針對條件找尋(x+y)與x +y 的關係：
2
(x+y) - xy = 3(x+y)+9
2 令x+y=t 2
xy = (x+y) -3(x+y)-9 => xy = t -3t-9
2 2 2 2 2
x + y = (x+y) - 2xy = -t +6t+18 = -(t-3) +27
當t=x+y=3時，有最大值=27
當t=x+y=-2時，有最小值=2
其實這題就收錄在我的數學講義中^^ 居然真的考出來了
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 2 之 5 篇)：