Re: [分析] 無限切多個零點
用cometic提到的反證法
假設在(0,1)中有一點c 使得f(c) ≠ 0
(用f的性質，單從一個一個root去看根本就做不完，所以我想說從全部的root去看)
考慮集合{x€[0,c]| f(x) = 0 }, {x€[c,1]| f(x) = 0 }
前者取sup, 令為s, 後者取inf, 令為i
由f的連續性，f(s) = f(i) = 0
另外有 s < c < i, 否則由f的連續性，f(c) = 0 →←
∵f(s) = f(i) = 0
∴存在d€(s,i), f(d) = 0
不妨假設 d€(s,c)
由f的性質，f在(s,d)之間會有無限多個root
此與s = sup{x€[0,c]| f(x) = 0} 矛盾
因此對於所有x€[0,1], f(x) = 0
※ 引述《peanutrice (花生米)》之銘言：
: f是一個在[0,1]連續的函數
: 且f具有這個性質：
: if a<b a,b€[0,1] with f(a)=f(b)=0
: then there exists c€(a,b) s.t. f(c) = 0
: 則 當我有f(0)=f(1)=0時
: 能否推得f(x)在[0,1]恆等於0??
: 目前想法是：
: [0,1]間存在一個a_1使得f(a_1)=0
: [0,a1] , [a1,1]間各存在一點使得函數值為零
: 這樣一直下去 能否證出這些點的closure就是[0,1]
: 如果可以的話 by 連續性就有想要的結果了
: 謝謝
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推
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