: 已知等腰三角形ABC，AB=AC，角B=80度
: E為AB上一點且AE=2BC
: 求角BEC=？
: 想了很久
: 有請版上高手解答！
首先在AB邊上找一D點，使得D為AE中點，即AD=BC
在AC邊右側找一F點使得AF=DF=AB=AC =>△ABC全等於 △FAD =>∠CAF = 60度
連結FC，可發現△FAC為正三角形 => FA=FD=FC
以F為圓心，取FA為半徑畫圓弧，A、D、C三點在圓周上
圓心角∠AFD=20度，圓周角∠ACD=10度 (對等弧) 可知∠BDC=20+10 = 30度
△ACE面積=2△CDE面積 => 1/2*2AD*AC*sin20度 = 2(1/2*AD*CD*sin30度)
=> CD = 2*AC*sin20度
2*AC*sin20度 AD
從△ACE由正弦定理可知 ------------ = ------- => AD = 2*AC*sin10度
sin20度 sin10度
2*AC*sin20度 2*AC*sin10度
從△CDE由正弦定理可知 ------------- = ------------ (設x = ∠DCE)
sin(30度+x) sinx
sin(30度+x)
=> 2cos10度 = -----------
sinx
DE AE 2DE
再從△ACE之正弦定理關係： -------- = ----------- = ----------- ...(1)
sin20度 sin(10度+x) sin(10度+x)
DE DE
與△CDE之正弦定理關係： -------- = -------- ...(2)
sin30度 sinx
sin30度 2sinx
(1)/(2)：--------- = ----------- => 4sinxsin20度 = sin(10度+x)
sin20度 sin(10度+x)
sin(10度+x) sin(30度+x)
=> 2cos10度 = ------------- = -----------
4sinxsin10度 sinx
=> 4sin10度sin(30度+x) = sin(10度+x) = 4sinxsin20度
由積化和差：
cos(x+20)-cos(x+40) = cos(x-20)-cos(x+20) => cos(x+40)+cos(x-20)=2cos(x+20)
=> cos(x+10度)cos30度 = cos(x+20度) => x我用數值解找得約24.6372度
所以∠BEC 約 30+24.6372 = 54.6372度
以上看起來找不到特別角關係使得角度為一整數解XD
※ 編輯: Intercome 來自: 219.87.138.179 (10/25 17:19)
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