Re: [機統] function on r.v's
※ 引述《jurian0101 (Hysterisis)》之銘言：
: 請問對於兩個獨立隨機變數 X, Y，是否有Log(XY)=Log(X)+Log(Y)
: - -
: 緣由是 對於z1 z2 ..zk 等一串隨機變數，其分布各個都一樣
: 欲求的是CDF F(m) = P{z1z2z3...zk < m} 很難算因為需多重積分
: 能不能轉而求 隨機變數 y_i = Log(z_i), 則 Fy(m) = Fz(Exp[m])
: 這樣 y_1 + y_2 + ... +y_k 可以用捲積算PDF，還能遞迴
: 只是證明等價性質一直鬼打牆...腦子不清楚，算起來答案也不太對的樣子
: 請板大不吝賜教
我取了個特例證出來了。
例如說X Y 都是range在 (0,1) 的Uniform distribution
土法煉鋼算左式，CDF of XY
F_XY(m) = P{XY < m}
= ∫∫ 1 dx dy
D= (0,1)x(0,1) 在雙曲線xy=m 下方的部分
m 1 1 m/x
= ∫ ∫ dx dy +∫ ∫ dx dy
0 0 m 0
= m - m Log[m]
因為 0<m<1, 0<F_XY(m)<1
再來轉換變數，得到
F_Log[XY] (m) = P{Log[XY] < m} = 1- m Exp[m] + m
所以 PDF分別是
f_XY (m) = -Log[m] ,0<m<1
f_Log[XY] (m) = -m Exp[m] ,因為取對數domain變成 -∞<m<0
= = =
右式
F_X(m) = P{X<m} = m , f_X(m) = 1
利用「若Y=g(X), f_Y(y)= Σ fX(x_i) / |g'(x_i)| 其中x_i是 y-g(x)=0 的所有根
f_Log[X] (m) = Exp[m], -∞< m <0
f_Log[Y] (m) 相同
f_Log[X]+Log[y] (m) = P{Log[X]+Log[Y]=m} = f_Log[X] (m) ＊ f_Log[Y] (m)
注: ＊是卷積
= - m Exp[m] , -∞<m<0
左式=右式，可喜可賀。
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