Re: [中學] 不等式
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: n n
: a + b a + b n
: _________ > ( _____________)
: =
: 2 2
: 其中a,b為正
: 之前有板友 有用數學歸納法證明
: 但是我真的看不是很懂那個過程 好像無中生有很多東西 都不知道怎麼來的
: 請問數學歸納法的過程 有辦法簡單一點的嗎?
n = 1 時:
(a+b)/2 = (a+b)/2 ...成立
設 n = k 時成立，即：
(a^k + b^k)/2 ≧ [(a+b)/2]^k
n = k+1 時：
[(a+b)/2]^(k+1)
= [(a+b)/2]^k * [(a+b)/2]
≦ [(a^k + b^k)/2] * [(a+b)/2]
= [a^(k+1)+b^(k+1)+a^kb+ab^k]/4
由於 a^kb+ab^k ≦ a^(k+1)+b^(k+1) (後面補證明)
[a^(k+1)+b^(k+1)+a^kb+ab^k]/4
≦ [a^(k+1) + b^(k+1)]/2 ...成立
由數學規納法... 下略
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◆ From: 210.70.137.244
首先，
不失一般性的情況下，
我們假設 a≧b＞0
則對所有的自然數 k，
a^k ≧ b^k > 0
[a^(k+1)+b^(k+1)] - [a^kb+ab^k]
= a^k(a-b) + b^k(b-a)
= (a-b)(a^k-b^k)
≧ 0
故 [a^(k+1)+b^(k+1)] ≧ [a^kb+ab^k]
※ 編輯: shmily1210 來自: 210.70.137.244 (09/19 19:22)
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※ 編輯: shmily1210 來自: 210.70.137.244 (09/19 19:33)
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09/20 01:17, , 5F
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