Re: [線代] 多項式證明
※ 引述《iverson32 (iverson32)》之銘言：
: c為Pn(z)的一根 Pn為n次多項式 Am分別代表第m次項的係數 且A0不為0
: 則 |A0| / ( |A0| + d ) <= c <= 1 + d / |An|
: 其中d=max|Ak|
: k
應該是要證 |A_0|/(|A_0|+d) ≦ |c| ≦ (|A_n|+d)/|A_n|
假如有一根c使得|c| < |A_0|/(|A_0|+d) = α
因為0 = P_n(c) = A_n*c^n + ... + A_1*c + A_0 = 0
=> |A_0| = |A_n*c^n + ... + A_1*c| ≦ |A_n|*|c|^n + ... + |A_1|*|c|
< |A_n|*α^n + ... + |A_1|*α < d*(α/(1-α)) = |A_0| 矛盾
所以|c| ≧ |A_0|/(|A_0|+d)對所有根成立
另外對P_n(x)的一根c (注意c≠0)
可知1/|c|是多項式 Q_n(x) = A_0*x^n + ... + A_(n-1)*x + A_n 的根
用前面的方法可知 1/|c| ≧ |A_n|/(|A_n|+d) => |c| ≦ (|A_n|+d)/|A_n|
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◆ From: 18.95.6.218
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09/06 13:58, , 1F
09/06 13:58, 1F
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