Re: [中學] n次方根
※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言：
: ※ 引述《olda (olda)》之銘言：
: : 題目如下:
: : 設所有1的n次方根的和與積分別為S與P，其中n為大於1的自然數，求證：(1) S = 0
: : ；(2) P=1或-1
: : 我的證明步驟大致如下:
: : 步驟一:由複數級式可知有n個相異的複數符合1的n次方根
: : 步驟二:假設這n個根為 a(1),a(2),...,a(n),則S=a(1),a(2),...,a(n)
: : P=a(1)a(2)...a(n)
: : 步驟三:考慮x^n-1可分解成[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]
: : 將[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]展開和x^n-1比較係數
: : 只要比較x^(n-1)項及常數項的係數 即可得知S及P
: : 請忽略題目沒有寫完整(例如:要求根屬於複數)
: : 我的問題是我身邊有一些朋友認為我的步驟一是多餘的
: : 因為我個人認為如果直接從步驟二開始寫，無法避掉重根的問題
: : 是的，我認為如果有重根的話，那樣的根在此題的敘述上只能算一次
: : 題目並不是開宗明義的說要求的是x^n=1的所有根的和
: : 所以並不能把"所有1的n次方根"與"x^n=1的所有根"完全畫上等號
: : 更確切的說法是1的n次方根要從x^n=1解去找，這些根相同是事後才知道的
: : 但是我身邊的朋友們認為，重根要算，所以直接從步驟二開始沒問題。
: : 我想請問板上大大，基於證明的嚴謹性，認為我的說法合理還是我身邊
: : 的朋友們說法合理。謝謝
: 我想，這可以利用根與係數關係來說明：
: ax^2+bx+c=0 兩根為 p、q，則
: 兩根和 p+q=-b/a、兩根積 pq=c/a
: ax^3+bx^2+cx+d=0 三根為 p、q、r，則
: 三根和 p+q+r=-b/a、三根積 pqr=-d/a
: 設 x^n = 1 之 n 個根為 a1,a2,a3, ... an
: 則依照根與係數關係（Vita 公式）
: n 根和 a1+a2+a3+...+an = 0（負 x^n 係數分之 x^(n-1) 係數），S=0
: n 根積 a1*a2*a3*...*an = 1 or -1（看常數項與次數），P=(-1)^n*(-1)
: 另外，依照高中99課綱之前的版本，極式單元
: 1 的 n 次方根均相異
: 不論是高中考題或是教甄，都可以直接知道這個結果
: 而題目上是說 1 的 n 次方根，如果有二重根，應該算兩個，不是一個
: 同理三重根算三個，否則「n 次方程式有 n 個複數根」的敘述是有問題的
我用兩種題目來說明現在的感覺
(一)求滿足[(x-1)^2](x-2)=0的所有"數"的總和
(二)求滿足[(x-1)^2](x-2)=0的"所有根"的總和
依我PO的第一篇的角度來說明
我會認為(一)的答案是3 而若(二)的答案是4 這我沒意見
偏偏我原來PO的題目敘述 我認為它接近(一)敘述方式
所有1的n次方根 相當於 滿足x^n-1=0的所有數
而我想問的是 "我認為原題目偏向(一)的敘述方式 這件事合不合理"
另外謝謝re大的回答
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