[中學] n次方根
題目如下:
設所有1的n次方根的和與積分別為S與P，其中n為大於1的自然數，求證：(1) S = 0
；(2) P=1或-1
我的證明步驟大致如下:
步驟一:由複數級式可知有n個相異的複數符合1的n次方根
步驟二:假設這n個根為 a(1),a(2),...,a(n),則S=a(1),a(2),...,a(n)
P=a(1)a(2)...a(n)
步驟三:考慮x^n-1可分解成[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]
將[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]展開和x^n-1比較係數
只要比較x^(n-1)項及常數項的係數 即可得知S及P
請忽略題目沒有寫完整(例如:要求根屬於複數)
我的問題是我身邊有一些朋友認為我的步驟一是多餘的
因為我個人認為如果直接從步驟二開始寫，無法避掉重根的問題
是的，我認為如果有重根的話，那樣的根在此題的敘述上只能算一次
題目並不是開宗明義的說要求的是x^n=1的所有根的和
所以並不能把"所有1的n次方根"與"x^n=1的所有根"完全畫上等號
更確切的說法是1的n次方根要從x^n=1解去找，這些根相同是事後才知道的
但是我身邊的朋友們認為，重根要算，所以直接從步驟二開始沒問題。
我想請問板上大大，基於證明的嚴謹性，認為我的說法合理還是我身邊
的朋友們說法合理。謝謝
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