Re: [中學] 短除法的數學原理
不會第一題 交給高手
簡單說
如果質數視作數的組成元素來說
某數A=(A1^a1)*(A2^a2)*(A2^a3)*A4........(皆是質數乘積 由小到大排列)
同樣B=(B1^b1)*(B2^b2)*B3........
C=(C1^c1)*(C2^c2)........
短除法只是找出相同項的簡易方法
因此你只是做了
第一次
A= [(P1^p1)]*[(A1'^a1')*(A2'^a2')*(A3'^a3').....]
B= [(P1^p1)]*[(B1'^b1')*(B2'^B2')*.....]
C= [(P1^p1)]*[(C1'^c1')*.......]
第二次
A= [(P1^p1)*(P2^p2)]*[(A1"^a1")*(A2"^a2")*.....]
B= [(P1^p1)*(P2^p2)]*[(B1"^b1")*......]
C= [(P1^p1)*(P2^p2)]*[(C1"^c1")*.......]
.
.
.
.
直到最後
A=GCD*[A/(A,B,C)]
B=GCD*[B/(A,B,C)]
C=GCD*[C/(A,B,C)]
你不覺得很麻煩嗎? 所以會有簡單的縮寫法 就是短除法
然後繼續找非所有數的質因數 直到剩一坨彼此互質的數
A=GCD*Q1*Q2*....*[]
B=GCD*Q2*Q3*....*[]
C=GCD*Q1*Q3*....*[]
將以上共同項提出來 再乘上剩下的數就是LCM
: 第二個問題：但是如果改成先提出其中二者的共同質因數 3,
: 而不是先提出三者的最大公因數, 答案也沒錯，這又是為什麼？
: 3)6, 10, 18
: ----------
: 2)2, 10, 6 => [6, 10, 18] = 90
: ----------
: 1, 5, 3
因為乘法具有交換率 [a,b,c]=(a,b,c)*某個倍數
因此原PO只是做了先後次序的交換
: 第三個問題：如果改成直接提出其中二者的公因數(非質因數)，
: 則不能保證求出的公倍數是最小，為什麼？
: 6)6, 10, 18
: ---------- 會以為 [6,10,18] = 180, 其實是錯的.
: 1, 10, 3
如果LCM和GCD是兩個數p,q的
會有LCM*GCD = p*q 的性質
但是超過兩個數的時候就沒這種性質了
因為m|a,b 但 m不整除c時
並有沒抓出c的共同項 所以會有剩下的因數
顯然m不是GCD 所以就不是(a,b,c)*某倍的這種步驟 所以不能使用乘積的結果
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▁▁ 達文西：
▕名人▏ 『我在年輕的時候便開始吃素，我相信有一天，
▕素寫▏ 人們會同我一樣視殺生如殺人。』
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