Re: [中學] 比較大小
※ 引述《integritywei (藍泡泡)》之銘言：
999^997 與 997^999 兩個數字比大小
有沒有簡單有效的方法呢? 先謝謝各位前輩 :)
推
07/25 22:45,
07/25 22:45
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07/25 23:26,
07/25 23:26
若可以用微分, 對 x > e 而言,
(x^{1/x})' = x^{1/x}(1 - log(x))/x^2 < 0 是嚴格遞減的
以下證 n^{n+1} > (n+1)^n 當 n≧3 ( <=> n^{1/n} > (n+1)^{1/(n+1)}, n≧3)
設 n≧3, 則
(n+1)^n / n^{n+1} = (1 + 1/n)^n / n
= ( ΣC(n,k) (1/n)^k ) / n
= ( Σn(n-1)...(n-k+1)/k! (1/n)^k ) / n
= ( Σ1(1 - 1/n)(1 - 2/n)...(1 - (k-1)/n) / k! ) / n
< ( Σ1/k! ) / n
< ( 1/0! + 1/1! + Σ1/[ k(k-1) ] / n
< 3/n
≦ 1
所以得到 n^{1/n} 當 n > 3 是嚴格遞減的
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.166.45.242
推
07/26 00:44, , 1F
07/26 00:44, 1F
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