Re: [微積] 積分
※ 引述《noyl91 (azure)》之銘言：
: x
: g(x) =∫ 100(t^2-3t+2)exp(-t^2) dt
: 1
: 試判斷g(3)是否大於零。
: 3
: 我算到∫ exp(-t^2) dt的時候卡住了...
: 1
: 有想過換極座標，但是不確定r的上下限怎麼取...
上下限又非無窮大
換成極座標毫無用處
: 還請各位幫忙給個方向，
: 或是有其他判斷方式的也可以，
: 謝謝大家！
g(1) = 0
g'(x) = 100(x-2)(x-1)exp(-x^2) 在1~2 < 0 在2~3 > 0
所以只需要比較
|100(t^2-3t+2)exp(-t^2)|的積分I_1 從1~2
及從2~3 的積分I_2誰大誰小
如果I_2 > I_1 g(3) > 0
如果I_2 < I_1 g(3) < 0
3 2
I_2 =∫f(t)dt = ∫(t)(t-1)exp(-2t-1)exp(-t^2)dt
2 1
2 2
I_1 = ∫f(t)dt = ∫-(t-1)(t-2)exp(-t^2)dt 加負號是為使積分為正以比較I_1I_2誰大
1 1
2
I_2 < exp(-3)∫(t)(t-1)exp(-t^2)dt
1
以下討論均只對於t=1~2的區間
設p(x)=exp(-3)t(t-1)於此區間為遞增函數,最大值p(2)=2exp(-3) p(1)=0
h(x)=-(t-1)(t-2)於此區間為對稱拋物線 h(1)=h(2)=0 最大值h(3/2)=1/4
1/4 > 2exp(-3)
稍微畫一個圖
可知除t=1外，另一個交點在3/2右側t=k
h > p 當 t < k
h < p 當 t > k
會發現
k k 2
∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt > ∫[h(t)-p(t)]exp(-k^2)dt > ∫[p(t)-h(t)]exp(-k^2)dt
1 2-k k
2
> ∫[p(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
k
註解
粗略取k=1/4 exp(-3)大概取20
第二個積分值大概是(1/2)[1/4-2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.075exp(-1/16)
第二個積分值大概是(1/4)[2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.025exp(-1/16)
所以
k 2
∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt - ∫[p(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
1 k
2
= ∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt > 0
1
=> I_1 > I_2
所以g(3) < 0
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◆ From: 128.220.147.108
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討論串 (同標題文章)
