Re: [微積] 旋轉表面積 & 一題積分 - 急，一題200P
※ 引述《tanaka0826 (田中鬪莉王)》之銘言：
: 1.
: 求 ( x^2 + y^2 ) ^2 = a^2 ( x^2 - y^2 ) 之曲線繞y軸旋轉之表面積？
: 這一題完全卡住，試著分離出x或是用隱微分都做不出來...
: Ans: 2√2 πa^2
4 2 2 2 2 2 2
寫成極座標 , r ＝a r (cosθ－sinθ) => r ＝a cos(2θ)
dr asin(2θ)
─ ＝ ─────
dθ √cos(2θ)
＿＿＿＿＿ a dθ
ds＝√r^2＋r'^2 dθ＝ ─────
√cos(2θ)
π/4
2∫ 2π rcosθ ds
0
2 π/4 ＿ 2
＝4πa ∫ sinθ dθ ＝2√2 πa
0
: 2.
: x^2 y^2
: 求 ─── + ─── = 1 之曲線繞x軸旋轉之表面積？
: a^2 b^2
: a^2 + b^2 b^2 - a^2
: 這一題則是列式之後變成 2πb∫sinθ √ ( ────── + ────── cos 2θ)dθ
: 2 2
: 但是積分卡住...
: 2πa^2 b b+√(b^2-a^2)
: Ans: 2πb^2 + ────── ln | ───── |
: √(b^2-a^2) a
x＝acosθ , y＝bsinθ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ds＝√a^2sin^2θ＋b^2cos^2θ dθ
表面積為
π ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2π∫bsinθ√a^2sin^2θ＋b^2cos^2θ dθ
0
我想到目前為止你都與我相同
但我不用半角公式
我寫成
π ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2πb∫sinθ√a^2＋(b^2－a^2)cos^2θ dθ
0
1 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝2πb∫ √a^2＋(b^2－a^2)u^2 du
-1
我們來處理那個積分 , 先不管2πb
2 2
為了簡便, 設 A＝a, B＝b －a
1 ＿＿＿＿＿＿ A
2∫√A^2＋B^2u^2 du , let u＝ ─tanα
0 B
2
2A k 3 B
＝ ── ∫ secα dα , k＝arctan(─)
B 0 A
2
A k
＝ ─ [ tanαsecα＋㏑(tanα＋secα) ]
B 0
2 ＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿
A B / A^2＋B^2 B / A^2＋B^2
＝ ─ [─ / ──── ＋㏑ ( ─＋ / ──── )]
B A √ A^2 A √ A^2
2 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿
a b√b^2－a^2 √b^2－a^2＋b
＝ ────── ( ────── ＋ ㏑ (───────) )
√(b^2－a^2) a^2 a
2 ＿＿＿＿
a √b^2－a^2＋b
＝ b ＋ ────── ㏑(───────)
√(b^2－a^2) a
所以原式就是
2 ＿＿＿＿
2 2π a b √b^2－a^2＋b
2πb ＋ ────── ㏑(───────)
√(b^2－a^2) a
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討論串 (同標題文章)
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