Re: [微積] 一題極限和一題積分
※ 引述《zayin (看不清)》之銘言：
: 1.
: lim (cotx - 1/x)(cotx + 1/x) =?
: x→0+
: 乘開 = lim (cot^2 x - 1/x^2 )
: x→0+
: (cot^4x - 1/x^4)
: 上下相乘 (cot^2 x + 1/x^2 ) = lim -----------------
: x→0+ (cot^2 x + 1/x^2 )
: x^4cot^4x-1
: 化簡後為 lim ------------- 之後就卡住了,請問是哪裡錯了嗎?還是有其它解法?
: x→0+ x^2(cot^2x+1)
cos^2 x 1
lim (cot^2 x -1/x^2) = lim ( ------- - ---)
x→0+ x→0+ sin^2 x x^2
x^2 cos^2 x - sin^2 x f1
= lim (---------------------- ) = lim (----)
x→0+ x^2 sin^2 x x→0+ f2
然後帥氣的使用L'hospital's rule 分子分母各微分四次
不過這樣太容易錯了 還是用Taylor series吧
sin^2 x = x^2 - x^4/3 + ...
x^2 sin^2 x = x^4 - x^6/3 + ...
x^2 cos^2 x = x^2 - x^4 + ...
f1 = x^2 cos^2 x - sin^2 x = -2*x^4/3 + ...
f2 = x^4 - x^6/3 + ...
f1 -2/3 * x^4 + ...
lim (----) = lim ----------------- = -2/3
x→0+ f2 x→0+ x^4 + ...
: 2.
: x+4
: ∫---------dx 這題不知道要怎麼拆解?
: x^3+x^2-2
: 以上,謝謝
顯然 x=1 是分母的根 分解後可得
x+4 x+4 A Bx + C
F(x) = --------- = --------------- = --- + --------
x^3+x^2-2 (x-1)(x^2+2x+2) x-1 x^2+2x+2
|
A = (x-1)F(x) | = 1
|x=1
| (x+4)(x+3) |
Bx + C = (x^2+2x+2)F(x) | = ---------- |
|x^2+2x=-2 (x-1)(x+3) |x^2+2x=-2
(x^2+2x) + 5x+12 | 5x+10
= ---------------- | = ----- = -x-2
(x^2+2x)-3 |x^2+2x=-2 -5
1 -x-1 -1
F(x) = --- + --------- + ---------
x-1 (x+1)^2+1 (x+1)^2+1
剩下就逐項積分了
答案是log(x-1) - 0.5*log(x^2+2x+2) - atan(x+1) + Constant
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◆ From: 140.121.146.175
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