Re: [代數] 柯西不等式適用時機？

看板Math作者zi98btcc (幼斤)時間13年前 (2012/06/09 13:22)推噓4(4推 0噓 18→)

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※ 引述《zi98btcc (幼斤)》之銘言： : 以下三題限用柯西不等式，但我無法用柯西不等式算出， : 1.雙曲線 x^2 - y^2 =1 求 x 範圍？ : 2.橢圓 3x^2+y^2=6 求 x^2+y^2 範圍？ : 3. x^2+y^2+z^2=6 且 x+y+z=0 ，求 x^3+y^3+z^3 範圍？ : 我更想問，什麼情況適合(不適合)用柯西不等式？如何判斷？後來有想出來1、2題怎麼做，如下： 1.雙曲線 x^2 - y^2 =1 求 x 範圍？利用柯西不等式， (1^2+0^2)(x^2 + y^2)≧(x)^2 原式x^2 - y^2 =1 ---> y^2=x^2-1 代回上式得： 2x^2-1≧x^2 ---> x^2≧1 ---> x≧1 or x≦-1 2.橢圓 3x^2+y^2=6 求 x^2+y^2 範圍？令x=a+b y=a-b ，則 x^2+y^2=2(a^2+b^2) 原式3x^2+y^2=6 ---> 3(a+b)^2+(a-b)^2=6 ---> 4a^2+4b^2+4ab=6 ---> 2ab=3-2(a^2+b^2) 利用柯西不等式， (1^2+1^2)(a^2+b^2)≧(a+b)^2 ---> 2(a^2+b^2)≧(a^2+b^2)+3-2(a^2+b^2) ---> 3(a^2+b^2)≧3 ---> (a^2+b^2)≧1 .....(1) 再利用柯西不等式， (1^2+(-1)^2)(a^2+b^2)≧(a-b)^2 ---> 2(a^2+b^2)≧(a^2+b^2)-3+2(a^2+b^2) ---> (a^2+b^2)≦3 ---> (a^2+b^2)≦3 .....(2) (1)、(2)式合併得 1≦(a^2+b^2)≦3 ---> 2≦2(a^2+b^2)≦6 ---> 2≦x^2+y^2≦6 第3題有3次方太高，試了好久沒算出來，不抱希望。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 49.158.186.133

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zi98btcc

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