Re: [中學] 請問一題函數有關 f(x+y)
※ 引述《qooyikai (小依子)》之銘言：
: 設函數f(x)滿足:
: 1. 對任何實數x,y,1+f(x)f(y)不等於0 ,
: f(x)+f(y)
: 且f(x+y)=---------------
: 1+f(x)f(y)
: 2.lim [f(x)/x]=1
: x->0
: 求證(1)f'(x)存在
: (2)f(x)=-f(-x)
: 請會的大大幫忙算一下吧 感謝QQ
對任意實數f(x)皆滿足f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y))，
取 x = y = 0 代入第一已知，得 f(0)*(f(0)-1)*(f(0)+1) = 0，故 f(0)=0,1,-1。
滿足第二已知之解唯有f(0)=0，f(0)存在。
First:
f(x+h) - f(x)
f'(x) = lim --------------- = (一連串整理並代入已知條件)
h->0 h
= 1 - (f(x))^2 ，是故 f(x) 存在，則 f'(x) 亦存在。
Second:
f(x-x) = (f(x)+f(-x)) / (1+f(x)f(-x)) = 0 ，所以 f(x) = -f(-x)
Third:
f' = 1 - f^2，此為一階微分方程式，
且由已知條件獲得兩初始條件：f(0)=0，f'(0)=1，分離變數可解得
exp(x)-exp(-x)
f(x) = --------------- ≡ tanh(x)，
exp(x)+exp(-x)
可將解得之f(x)代回題目之已知條件與所求問題驗證正確性。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.126.124.213
※ 編輯: RAINDD 來自: 122.126.124.213 (06/02 00:20)
推
06/02 01:16, , 1F
06/02 01:16, 1F
→
06/02 01:24, , 2F
06/02 01:24, 2F
→
06/02 01:25, , 3F
06/02 01:25, 3F
→
06/02 01:29, , 4F
06/02 01:29, 4F
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：