Re: [機統] 有關樣本空間的基礎問題
※ 引述《cog5566 (刃之56)》之銘言：
: 不好意思~
: 看了書之後還是不太了解樣本空間的意思。
: 以下是一連串的基礎問題...
: 1. 一個樣本空間裡面的所有不同的基本事件機率總合為一?
對.
: 2. 一個樣本空間中，不同的基本事件機率總合必定為Mutually exclusive?
不同的基本事件為Mutually exclusive;
但 "不同的基本事件機率總合" 是一個數字,
無所謂 exclusive.
: 3. 一顆骰子有1,2,3,4,5,6 六個面。
: 每擲出一次有兩種性質可以測量出：一個是數字大小，一個是奇偶。
: 譬如說擲出5
: 數字: 5
: 奇偶: 奇
: 請問1,2,3,4,5,6 和 奇,偶 是在同一個樣本空間嗎，還是這是兩個樣本空間?
"奇", "偶" 是由 "1",...,"6" 等 "基本事件"
合併而成的, 當然是在同一個樣本空間.
: 4. Joint probability 可以說是兩個樣本空間組成一個新的樣本空間嗎?
: 譬如說上面的例子，本來我們可以單獨觀察數字或是單獨觀察奇偶。但是現在我們一起觀
: 察弄在一起觀察，可以說是組成一個新的樣本空間嗎?
Joint probability 是兩個以上事件同時發生的機率;
joint probability distribution 是兩個以上隨機變數
的聯合機率分布.
在一個樣本空間中兩個事件 E, F, 機率 P(E∩F) 稱為
E 與 F 的聯合(發生)機率, 即同時發生機率.
例如丟一顆公正骰子一次, 其樣本空間為 {1,2,3,4,5,6}.
令 E 表示 "點數是偶數", 即 {2,4,6};
F 表示 "點數超過 3", 即 {4,5,6}.
則 E∩F = {4,6} 表示 "E 與 F 同時發生",
即 "點數超過 3 而且是偶數".
P(E∩F) 是 ""點數是偶數" 及 "點數超過 3" 的聯合機率,
即 E 與 F 兩事件 "同時發生"(都發生) 的機率.
一個隨機實驗是可以有多種不同的樣本空間描述, 例如
上述丟骰子的實驗,樣本空間可以是 {1,2,3,4,5,6} 或
{點數為奇, 點數為偶}, 或其他的描述法, 但
(1) 在一個時間我們只會用其中一個, 例如 {1,2,...,6}.
(2) 其中有些樣本空間不適用 "機會均等" 的假設. 例如
丟兩顆公正骰子, 樣本空間
{(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),...,(2,6),...,(6,6)}
含36個基本事件, 可以假設這些基本事件機率都相同.
但樣本空間(以點數合描述) {2,3,...,12} 則不適用
機會均等法則. 又另一個點數組合(兩顆骰子不區分)
的樣本空間
{{1,1},{1,2},...,{1,6},{2,2},...{2,6},{3,3},...,{6,6}}
其中有些元素(單一元素構成 "基本事件")如 {1,2},
{2,6} 等,必須給予較另一些元素如 {1,1},{2,2} 等
更高的權重(機率).
(3) 樣空的選擇以適合目的為基準, 在許多情形是採用最
詳細的描述. 例如丟兩顆骰子的實驗, 樣空
{(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),...,(2,6),...,(6,6)}
無疑是最詳細的, 也是適用於最多種目的的, 因為其
他個樣空都可由這個最詳細的樣空導出, 因此當然也
符合那些樣空的目的.
(4) 在機率學中, 一個時間可能考慮多個(甚至無窮多個)
隨機變數, 通常它們會是定義在同一個樣本空間上的.
(5) 一個隨機實驗的不同樣本空間不會被聯合成一個新的
樣本空間. 例如丟一顆骰子的實驗, 樣空 {1,...,6}
不會被拿來與 {點數為奇, 點數為偶} "合併", 事實
上前者已是這實驗最詳細的描述.
: 5. 那這時候樣本空間的基本事件是joint 的事件嗎?如[5&奇] 還是原來的1,2,3,4,5,6
: 和奇,偶?
"基本事件" 是單一元素的事件; 含不只一個元素的事件
有時被稱為 "複合事件".
: 6. Mutually exclusive的事件必定在同一個樣本空間中嗎?
當然! 同一個樣空的事件才可能談是否 exclusive.
不僅 exclusive 的概念, independent events 也是在同
一個樣本空間下談的.
: 7. 沒有任何事情發生但是又占有機率可以稱之為事件嗎? 那可以稱之為基本事件嗎? 譬
: 如說我每分鐘測量太陽黑子的產生，就會有1.有測到 2. 沒測到兩種情況。是Mutually
: exclusive。所以”有”和”沒有”都可以稱之為基本事件嗎?那”有”和”沒有”在同一
: 樣本空間嗎?
"基本事件" 是單一元素的事件, 因此是否為基本事件與
如何描述樣本空間有關.
某一分鐘太陽黑子的現象視為一個隨機實驗, 其樣本空間
可以是 {有, 無}, 也可以是 {0,1,2,...}. 後者是以1分
鐘之內有多少個太陽黑子來描述. 顯然前者是簡化的樣空,
是可以由後者導出的樣空. 而 "沒有太陽黑子出現" 這個
事件在兩個樣空都是基本事件; 但 "有太陽黑子出現" 在
前者(簡化版樣空)是一個基本事件, 在後者(詳細版樣空)
則不是基本事件.
: 8. 承接6和7，假設一個情境：除了太陽黑子，我每分鐘同時又測量某種太陽所射出的粒
: 子(簡稱E)。所以也有有測到此粒子和沒測到的情況。結果我發現在太陽黑子發生的時候
: ，我就測不到粒子E，並且在測到粒子E的時候，我就測不到太陽黑子。有完全的負相關
: (Mutually exclusive)。請問這時候我可以把這兩種測量的基本事件(也就是{黑子出現}
: 和{粒子E出現})算在同一個樣本空間中嗎?也就是說它們的joint probability 是0的時候
: ，可以合併它們嗎?
同時測量兩種粒子, 則整個 "實驗" 的樣空一個版本是:
{(x,y): x=0,1,2,... 表太陽黑子數, y=0,1,2,... 表 E 粒子數}
當然也可以看成兩個實驗 "太陽黑子數" 與 "E 粒子數"
的聯合實驗. 設前者樣空是 S={0,1,2,...}, 後者樣空是
T={0,1,2,...}, 則 "聯合實驗" 的樣空是
S ×T = {(x,y): x=0,1,2,... 表太陽黑子數,
y=0,1,2,... 表 E 粒子數}
若事實上太陽黑子與 E 粒子不可能同時出現, 是可以自
樣空中將不可能出現的元素移除, 則整個實驗的樣空成:
{(x,y): (x=0, y=0,1,2,...) 或 (y=0, x=0,1,2,...)}
或其他等價描述.
如果 "太陽黑子與 E 粒子不可能同時出現" 只是一個可
能在往後被推翻的理論, 或只是個 "假說" 或 "猜想",
則比較好的做法仍是取 S ×T 為這個實驗的樣空, 但指
定 P[X>0,Y>0]=0.
令 F=有太陽黑子, E=有E粒子. 則在前面第二段中排除
x>0, y>0 諸點的樣空描述中, E 與 F 是互斥的, 因
E = {(0,y): y=1,2,...},
F = {(x,0): x=1,2,...}.
但若樣空是 S ×T, 則
E = {(x,y): y>0}, F = {(x,y): x>0}
而 E∩F = {(x,y): x>0 且 y>0}, 並非空集合, 因此
E 與 F 不是互斥的, 雖然可能它的機率是 0.
事件是否互斥, 只問它們是否含有共同元素, 而與機率如
何設定無關.
: 9. 問題承上，這樣會表示如果是Mutually exclusive 的話，可以將2維的資料壓成一維
: 的嗎? 也就是說，本來是joint probability 為 太陽黑子和粒子E的函數，可以說現在只
: 要一個新的變數就可以描述這兩個變數嗎?
資料很多時候是可壓縮成一維的, 如太陽黑子與 E 粒子
之例, 縮減的樣空可以描述成:
{...,-2,-1,0,1,2,...}
在這個樣空中的元素 x 若是正的, 代表太陽黑子數; 若
x 是負的, 則 -x 代表 E 粒子數, 而 0 代表二者皆無.
但請勿與 "mutually exclusive" 扯在一起, 除非這個詞
不代表 events 之間的關係.
: 10. 承上，這樣可以說我們所有的樣本空間的定義，都是從基本元素的有和無慢慢建立起
: 來的嗎?舉個極端的例子。如擲銅板，我們先觀察銅板的正面是否有出現。建立”有正面
: ”和”無正面”的這兩個Mutually exclusive的基本事件並積率總合為1的樣本空間後，
: 再建立”有反面”和”無反面”的另一個樣本空間。然後計算它們的joint probability
: 之後發現是Mutually exclusive，就把它們併到同一個樣本空間中?
這問題太深奧了.
隨便談談...
無極生太極, 太極生兩儀, 兩儀生四象, 四象生八卦, 而
後萬物成焉.
0 與 1 可以描述所有整數, 進而所有實數, 所有複數,
所有向量. 可以描述所有文字, 可以描述萬事萬物.
然而, 今天對一個事物, 我們是否要追究其終極的 0-1
表現形式?
有時候我們該深入思考, 有時候卻不需鑽牛角尖.
如果你是正在學習機率論, 建議依教本描述, 先把一些基
本概念弄清楚, 卻不須想太多延伸的, 除非你已是這領域
的專家. (當然我不是專家,因此我只能依循教本給的概念
與你討論,深入的東西請恕我學淺不堪與論.)
: 不好意思問題很多…但是真的有點混亂。
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