Re: [微積] curl(curl F), grad(F．G), curl(F ×G)

看板Math作者JohnMash (Paul)時間12年前 (2012/05/30 18:52)推噓4(4推 0噓 1→)

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※ 引述《dqIpb (dqipb)》之銘言： : 想請問一下課本提到以下這三個等式 : 1) ▽ ×(F ×G) = (▽．G)F + (G．▽)F - (▽．F)G - (F．▽)G : 2) ▽(F．G) = F ×(▽ ×G) + G ×(▽ ×F) + (F．▽)G + (G．▽)F : 3) ▽ ×(▽ ×F) = ▽(▽．F) - ▽^2 F : 有沒有比較有規則的推導方式呢? 除了兩邊展開相等以外? : 因為像 : ▽ ×(▽ψ) = 0, ▽．(F ×G) 等許多等式在 differential forms 的符號下會變成 : d^2ψ = 0 : ▽．(F ×G) (▽ ×F)．G - F．(▽ ×G) : d(λ_F ^ λ_G) = dλ_F ^ λ_G - λ_F ^ dλ_G : 很有規律...(λ_F, λ_G 是與向量場 F, G 相關連的 1-form) important identity ε_{ijk}ε_{kmn}=δ_{im}δ_{jn}-δ_{in}δ_{jm} hence A^(F^G) = A F G - A F G = (A.G)F-(A.F)G |---| |-| where |---| means contraction then ▽^(F^G)= ▽ F G - ▽ F G |----| |--| = (▽ F) G + F (▽ G) - (▽ F) G - F (▽ G) [Leibnitz rule] |-----| |--| |--| |---| = (G.▽)F+(▽.G)F-(▽.F)G-(F.▽)G ▽(F.G) = ▽ F G |--| = (▽ F) G + F (▽ G) = G (▽ F) + F (▽ G) |--| |-----| |-----| |-----| But G^(▽^F) = G ▽ F - G ▽ F |----| |--| Hence ▽(F.G) = G^(▽^F) + G ▽ F + F^(▽^G) + F ▽ G |--| |--| = F^(▽^G) + F (▽.G) + G^(▽^F) + G (▽.F) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 27.147.57.77 ※ 編輯: JohnMash 來自: 27.147.57.77 (05/30 19:47)

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dqIpb

05/30 20:08, , 1^F

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harveyhs

05/30 20:11, , 2^F

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dqIpb

05/30 20:12, , 3^F

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