Re: [中學] 101臺師大教師甄選計算題第三題
※ 引述《hsnuIan (ddd)》之銘言：
: 請教各位先進，計算題第三題第1小題應該如何利用特徵方程式求出一般項？
: (題目如下)
: a_1 = 2，a_(n+1) = 1/2 ( a_n + 1/a_n ) , n 大於等於 1 成立
: (1) 證明 n 趨近於無限大時 a_n 存在
: 有去看過詳解。有老師提到可利用特徵方程式求出一般項
: 可是到底如何利用特徵方程式仍沒有頭緒，請問有老師可幫忙指點一下嗎??
: 謝謝您。
a_n>0
算幾不等式可以驗證a_(n)>= 1
a_n - a_(n+1)= (a_n-1/a_n)/2 =(a_n^2-1)/2a_n>0
所以遞減有下界必收斂。
a_{n+1}=(a_n^2+1)/2a_n
一般項:
其實我們可以發現(利用分數的運算)
a_{n+1}+1 (a_n+1)^2
--------- = ---------
a_{n+1}-1 (a_n-1)^2
如果令b_n=(a_n+1)/(a_n-1)則 b_1 = 3且
b_{n+1}=b_{n}^2
可知
b_n=3^{2^{n-1}}
在利用b_n的定義可以解出a_n=(3^{2^{n-1}}+1)/(3^{2^{n-1}}-1).
ps:會想到用這方法是因為我看到了x^2+1, 2x
就想湊湊看x^2-2x+1, x^2+2x+1會發生甚麼事情
因為我手邊沒有高中數學競賽教程那本書，所以我只好自己想方法做。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 88.77.191.41
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05/25 18:07, , 1F
05/25 18:07, 1F
意思就是本題用特徵方程?的方法是比用這個方法解還困難。
用這種方法幾行就結束了。不過觀眾既然要求，我就附上解答。
推
05/25 19:48, , 2F
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推
05/25 21:36, , 3F
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推
05/26 09:11, , 4F
05/26 09:11, 4F
No Problem
※ 編輯: herstein 來自: 88.77.191.41 (05/28 02:54)
討論串 (同標題文章)
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