[其他] 數值偏微分方程

看板Math作者 (阿破)時間12年前 (2012/05/24 16:13), 編輯推噓0(0推 0噓 15→)
留言15則, 2人參與, 最新討論串2/3 (看更多)
u_tt=-u_xxxx+u_xx+(u^2)_xx 利用差分法把上面的式子離散化 j+1 j j-1 j j j j j j j j u -2u +u u -4u +6u -4u +u u -2u +u i i i i+2 i+1 i i-1 i-2 i+1 i i-1 ------------------ = - ------------------------------- + ----------------- k^2 h^4 h^2 j j j ( u )^2 -2 (u )^2 +(u )^2 i+1 i i-1 + ----------------------------------- h^2 懇請各位大大幫我看看這樣的推導有沒有錯誤!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.128.36.165
→
05/25 13:07, , 1F
u_tt，u_xxxx，u_xx，這3項你都用了二階中差去近似，
05/25 13:07, 1F
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05/25 13:11, , 2F
最後一項，(u^2)_xx，對於u^2是二階精確，但是對於u
05/25 13:11, 2F
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05/25 13:14, , 3F
而言，精確度卻較低，
05/25 13:14, 3F
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05/25 16:23, , 4F
直接對u^2作二階中差近似，對於u而言，其截斷誤差(
05/25 16:23, 4F
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05/25 16:24, , 5F
truncation error)雖然也是二階精確，但若把(u^2)_xx
05/25 16:24, 5F
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05/25 16:24, , 6F
先展開為2[u‧u_xx+(u_x)^2]，再把u_xx的二階中差近
05/25 16:24, 6F
→
05/25 16:25, , 7F
似，和u_x的三階中差近似代回去，如此所得到的近
05/25 16:25, 7F
→ XinYuan *[m:似式，會是具有較小截斷誤差的二階近似式 05/25 16:26
→
05/25 16:31, , 8F
一些進階的概念，可參考下面這本書:
05/25 16:31, 8F
→
05/25 16:32, , 9F
Nonstandard finite difference models of differen-
05/25 16:32, 9F
→
05/25 16:33, , 10F
tial equations, Ronald E. Mickens, 1994.
05/25 16:33, 10F
感謝大大的教學 =) 所以我是不是可以寫成 j j j j j u -2u +u u - u i+1 i i-1 i+1 i-1 (u^2)_xx=2[u* ------------------+( ------------- )] h^2 2h 謝謝您!! ※ 編輯: h20021019 來自: 140.128.36.165 (05/25 17:44)
→
05/26 04:38, , 11F
恩！對x的一階偏導數那項要用4階中差，而且你少了個
05/26 04:38, 11F
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05/26 04:39, , 12F
平方，四階精確的差分近似，平方後降為二階精確
05/26 04:39, 12F
j j j j j u -2u +u u - u i+1 i i-1 i+1 i-1 (u^2)_xx=2*[u* ------------------+( -------------- )^2 ] h^2 2h 少打個平方@@~謝謝大大!! ※ 編輯: h20021019 來自: 140.128.36.165 (05/28 09:51)
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05/28 15:04, , 13F
我直接回文到看板了，連結參考看看
05/28 15:04, 13F
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08/13 16:52, , 14F
Nonstandard https://muxiv.com
08/13 16:52, 14F
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09/17 14:48, , 15F
直接對u^2作二階中差 https://daxiv.com
09/17 14:48, 15F
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