Re: [中學] 不等式
※ 引述《singe12345 (SinGe)》之銘言：
: 設a、b、c為三角形ABC三邊長且滿足a^2+b^2+c^2-18a-8b-2cx+97=0
: 求x的範圍
不確定這樣是否正確,提出來大家討論一下:
(a-9)^2 + (b-4)^2 + c^2
首先移項並配方得到 x = ---------------------------
2c
從上面這個式子我們可以發現以下幾件事情:
(1) x 沒有最大值 : 我們可以令 a = b = c = 某個非常大的數,得到
的 x 也會很大
(2) x 必須大於 0
(3)大致來說, c 越小, x 也越小
再回到原題目的式子,我們可以配方得到(a-9)^2 + (b-4)^2 + (c-x)^2 = x^2
利用柯西不等式 : [(a-9)^2 + (b-4)^2 + (c-x)^2][(-1)^2 + 1^2 + 1^2]
≧ (b+c-a+5-x)^2 ＞ (5-x)^2
(因為b+c-a ＞ 0 ,這裡其實還假設了 x ≦ 5)
上式可以整理成 3x^2 ＞ x^2 - 10x + 25
-5 + 5√3
此不等式可以解得 x > -----------
2
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