Re: [其它] x^(2/3)=-1 如何解？
※ 引述《zi98btcc (幼斤)》之銘言：
: 題目： x^(2/3)= -1
: 直覺上， x = -i 是其中一個解，
: x = i 也是其中的解嗎？聽別人說還有第三個解，是甚麼？
: 另外一題， x^(1/3)= -2 如何解？ x=-8不是解喔！
: 參考 http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9707.html
: 另外一題， x^(1/3)= 2 只有一個 x=8 解而已？還有其他複數解？
: 另外一題， x^(2.3)= 8 有23個解對嗎？
x^(2/3) = 2:
re^(2it/3) = e^(iπ) => r = 1, 2t/3 = (2k+1)π
=> t = (3k + 3/2)π
t = 0: x = -i;
t = 1: x = i.
de Moivre就是指類似這樣
x^(1/3) = -2:
re^(it/3) = 2e^(iπ) => r = 2^(1/3), t/3 = (2k+1)π
=> t = (6k+3)π
x = -2^(1/3)
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關於 x^(1/3) = 2 以及 x^(2.3) = 8, 前者只有一個解, 後者用 de Moivre 有 23 解.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.115.148.18
推
04/28 00:57, , 1F
04/28 00:57, 1F
re^(23/10 it) = 8
r = 8^(10/23)
t = 20k/23 π, k = 0 ... 22
舉例來說 當
k = 0, x = 8^(10/23). x^(2.3) = 8
k = 1, x = 8^(10/23) exp(20iπ/23).
x^(2.3) = exp( 2.3 * ln[8^(10/23) exp(20iπ/23)] )
= exp( Ln 8 + 2.3(20/23 + 2n)iπ )
= exp( Ln 8 + (2 + 4.6n)iπ )
其中一個值的確是 8.
k = 2, x = 8^(10/23) exp(40iπ/23).
x^(2.3) = exp( 2.3 * ln[8^(10/23) exp(40iπ/23)] )
= exp( Ln 8 + 2.3(40/23 + 2n)iπ )
= exp( Ln 8 + (4 + 4.6n)iπ )
其中一個值的確是 8.
k = 3, 4, ... 都一樣 其中有個值是 8
-
z^c = exp(c ln z), 當 z 為正實數時, convention 是 ln 是實數的 ln, 只有一個值
z 是複數時, ln z 是多值的
若 c 是有理數, 則他有有限多個值. 無理數的話, 有無窮多值.
※ 編輯: suhorng 來自: 59.115.148.18 (04/28 01:17)
※ 編輯: suhorng 來自: 59.115.148.18 (04/28 09:10)
討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：