Re: [中學] AIME2012
提供另一種作法(不用中線定理)
令A(a), B(b), C(c), 三角形ABC斜邊為BC
因a+b+c=0 => a'+b'+c'=0 且 原點O為三角形ABC之重心
=> h^2=BC^2=AB^2+AC^2=|a-b|^2+|a-c|^2
=(a-b)(a'-b')+(a-c)(a'-c')
=|a|^2+|b|^2-ab'-a'b+|a|^2+|c|^2-ac'-a'c
=|a|^2+250-a(b'+c')-a'(b+c)
=|a|^2+250-a(-a')-a'(-a)
=250+3|a|^2
=250+3*OA^2=250+3(h/3)^2 (因OA=2*中線長/3=h/3)
=250+h^2/3
=> h^2=375
※ 引述《FAlin (FA（バルシェ應援）)》之銘言：
: ※ 引述《reebox17 (瑞巴克)》之銘言：
: : 15.設複數a,b,c是方程式z^3+qz+r=0的三個根,且滿足lal^2+lbl^2+lcl^2=250
: : 在複數平面對應於a,b,c的三個點可形成一個直角三角形的三個頂點。
: : 若此直角三角形的斜邊長為h，求h^2=_____
: : 沒有頭緒，不知道怎麼解，謝謝:)
: 首先由根與係數法可知三根和為0
: 在複數平面上此代表 原點G(0+0i) 是這個三角形ABC的重心
: 假設 BC = x , AC = y , AB = z
: AG = |a|^2 , BG = |b|^2 , CG = |c|^2
: O是重心，所以有 |a|^2 = (2y^2 + 2z^2 - x^2) / 9 (中線定理)
: 輪換後相加有 |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250 = ( x^2 + y^2 + z^2 ) / 3
: 而不妨令斜邊為x 則有 x^2 = y^2 + z^2
: 所以 斜邊h^2 = x^2 = 750 / 2 = 375
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