Re: [微積] 散度運算的證明

看板Math作者 (freely falling)時間13年前 (2012/03/21 22:55), 編輯推噓0(0推 0噓 3→)
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※ 引述《chunhsiang (= =)》之銘言： : A is a 3D vector function : i,j,k分別為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的單向量 : Ax,Ay,Az 都是三維的純量函數 : A = Axi+Ayj+Azk : 這裡的d是partial : 試証 div A = dAx/dx + dAy/dy + dAz/dz : 我的問題是在divergence定義中定義的Δv : Δv->0 : Δv = ΔxΔyΔz (這應該是對的吧) : 那個只要Δx->0 or Δy->0 or Δz->0 就可以滿足 Δv->0 對嗎? 不是or 而是and : ∮A˙dS = 正方體六個面的面積分和 : front face : ∫A˙(dydzi) : = Ax(x+Δx,y,z)ΔyΔz <= 這一步是如何知道? 無窮小正方體積分就拿掉 這裡只有示範一個方向 另外兩個方向同理 : back face : = -Ax(x,y,z)ΔyΔz <= Δx在面積分會有影響? : lim [Ax(x+Δx,y,z)ΔyΔz-Ax(x,y,z)ΔyΔz]/Δv : Δv->0 =lim [Ax(x+Δx,y,z)-Ax(x,y,z)]ΔyΔz/Δv =lim [dAx(x,y,z)/dx]ΔxΔyΔz/Δv =dAx(x,y,z)/dx 無窮小正方體六個面加總就是 ∮A˙dS/Δv = ∫A˙(dydzi) +∫A˙(dxdzj) + ∫A˙(dydxk) /Δv = dAx/dx + dAy/dy + dAz/dz = divA : 為何我會倒出樣荒妙結果呀? 我看課本適用泰勒展開來繼續證明 : 有請高手為我這程度不好的解釋一下 感恩 -- 格調--就是格調 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 112.104.115.234
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03/21 23:11, , 1F
但是假如Δx=1,Δy->0,Δz->0 => Δv->0 一樣也是對
03/21 23:11, 1F
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03/21 23:17, , 2F
∫A˙(dydzi) = ∫Axdydz 為何不是 Ax(x,y,z)ΔyΔz
03/21 23:17, 2F
...面積分...只有函數值...........> <
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03/21 23:26, , 3F
給樓上，這樣你的積分的偏微分值就是不好的估計了
03/21 23:26, 3F
你往後面的章節看 它的一個精神其實要表達divA=divA(x,y,z) 取無窮小是要他收斂要一個點上 所以小正方體或球體不重要 你取成Δx=1,Δy->0,Δz->0 => Δv->0 這樣就會變成divA在一個範圍的平均 無法表達出空間某點(x,y,z)的divA 也是因為面積無窮小 才能把積分符號拿掉 那另外兩個方向∫Aydxdz 你能同樣用Δx=1,Δy->0,Δz->0 這樣極限取法嗎 ※ 編輯: qna 來自: 112.104.115.234 (03/22 00:13)
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