Re: [中學] 中央數學學士申請入學考題
※ 引述《tonyhappyboy (小艾)》之銘言：
: 令a是任意一給定的實數且定義數列a1,a2,a3,.....為(第一項)=a,
: (第n項)=(第n-1項)^2-(第n-1項)+1 <遞迴式> (n大於等於2)
: (1) 試求a的範圍使得此數列為一個單調數列
: (2) 試求a的範圍使得此數列為一個有界數列
: (3) 試求a的範圍使得此數列是一個收斂數列，並求其收斂值。
: 實在不知道該如何下手 這樣的遞迴式高中好像沒學過
A(n) = A(n-1) ^2 - A(n-1) +1
(1) 首先考慮 A(n)- A(n-1) = A(n-1)^2 -2 A(n-1) + 1 (可以配方耶)
= [A(n-1) -1 ]^2 >= 0
所以只要首項 A(1) 不等於1 都是遞增 => 單調
(2) 觀察一下，只要有一項 > 1 就一直大下去了
所以要有界 需要首項 < 1 且下一項 也 < 1
=> solve x^2 -x + 1 < 1 => x^2 -x < 0 => 0<x<1
請把所有 < 改成 <= (小於等於)
(3) 既然都 (1) 單調 又 (2) 有界 那就收斂了..
直接假設 A(n) = A(n-1) =x 去解嚕... 答案是 1
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