Re: [微積] 連續函數的積分與極限一題
※ 引述《cxcxvv (delta)》之銘言：
: Suppose f is continuous on [0,1]
: Define
: 1
: Xn = (n+1)∫x^n f(x) dx
: 0
: Find lim Xn
: n->infinity
: 原本以為用積分中值定理就做出來了
: 可是那個c belongs to (0,1)會depend on n
: 所以其實不能那樣做
: 那這一題要怎麼解呢?
不知道可不可以這樣寫 ?
設 |f(x)|≦K for x∈[0,1]
及 f(x) 在 1-ε≦x≦1 的最小最大值分別為 m, M
1
首先, |x_n - x_m| = |∫[(n+1)x^n - (m+1)x^m] f(x) dx|
0
1
≦ K ∫|(n+1)x^n - (m+1)x^m| dx
0
可以被選得要多小就有多小, 所以 lim x_n 存在
n→∞
接著, 寫
1-ε 1
g(ε) = lim x_n = lim ∫ (n+1)x^n f(x)dx + ∫(n+1)x^n f(x)dx
n→∞ n→∞ 0 1-ε
1-ε
而 | ∫(n+1)x^n f(x)dx |≦ K(1-ε)^{n+1} → 0 當 n→∞
0
1 1 1
m ∫(n+1)x^n dx ≦ ∫(n+1)x^n f(x)dx ≦ M ∫(n+1)x^n dx
1-ε 1-ε 1-ε
1
當 n→∞ 時, ∫(n+1)x^n dx = 1 - (1-ε)^{n+1} → 1
1-ε
所以得到 m≦g(ε)≦M. 當ε→0 時 g(ε)→f(1)
但是因為 lim x_n 收斂, 所以 g(ε) 只是常數, 也就是 g(ε) = f(1)
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